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Bedeutung und Interpretation vom Befehl rref

 

Nullchecker

Gast


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     Beitrag Verfasst am: 21.05.2018, 13:17     Titel: Bedeutung und Interpretation vom Befehl rref
  Antworten mit Zitat      
Hallo,
in der Uni habe ich die unten stehende Aufgabe bekommen, aber ich steig immer noch dahinter was mir das Ergebnis sagen soll. Ich hoffe jemand kann mir kurz helfen.
Danke schon mal im vorraus

Sie haben in Matlab die erweiterte Koeffizientenmatrix
Aerw=[1 -2 4 -1 -2 5;
3 1 -2 4 -6 8;
-9 -10 20 -19 18 -17]

Der Befehl rref(Aerw) liefert das Ergebnis

rref(Aerw)=[1 0 0 1 -2 3;
0 1 -2 1 0 -1;
0 0 0 0 0 0]

Was bedeutet dieses Ergebnis? Wie sehen die Lösungsvektoren aus?


42
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     Beitrag Verfasst am: 22.05.2018, 08:15     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Der rref-Befehl bringt jede Matrix in Treppennormalform, und zwar mit dem Gaußalgorithmus. Als Ergebnis gibt es dann drei Möglichkeiten:

1.) links steht eine Einheitsmatrix, also

rrref(Aerw) = [1 0 0 3;
0 1 0 -2;
0 0 1 5]

dann kann man die Lösungen ganz einfach in der letzten Spalte ablesen, in diesem Fall

x_1 = 3
x_2 = -2
x_3 = 5.

Bei dir ist das aber nicht der Fall. Dann gibt es noch

2.) Es gibt unten eine Nullzeile, also

rref(Aerw) = [1 0 0 1 -2 3;
0 1 -2 1 0 -1;
0 0 0 0 0 0]

Dann gibt es unendlich viele Lösungen des Linearen Gleichunssystems. Man kann es aber immernoch als

1*x1 + 0*x2 + 0*x3 + 1*x4 - 2*x5 = 3
0*x1 + 1*x2 - 2*x3 + 1*x4 + 0*x5 = -1
0 = 0

intepretieren. Daraus folgen unter anderem die Gleichungen

x1 = 3 - x4 + 2x5

und

x2 = 2x3 - x4 - 1.

Daraus kann man auch das Aussehen der Lösungsvektoren bestimmen. Zum letzten Fall:

3.) Die letzte Zeile ist
[0 0 0 ... 0 1].

Dann gibt es keine Lösungen, da dies der Gleichung 0 = 1 entspricht.

Ich hoffe das dies weitergeholfen hat.

Gruss

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