Diagonalform -> Übertragungsfunktion

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Verfasst am: 27.09.2015, 13:48 Titel: Diagonalform -> Übertragungsfunktion

Hallo,

ich habe folgendes Zustandsystem gegeben.
A=
[-3 0
0 1]

b^T = [1 1]

bz^T = [1 0]

c^T= [1 3]

Ich weiß, dass die ÜF des System folgende ist G(s) = [4*(s+2)]/[(s+3)(s-1)].
Das Nennerpolynom macht Sinn für mich, Eigenwerte der Diagonalmatrix A sind die Pole der ÜF.
Allerdings verstehe ich nicht, wie ich das Zählerpolynom mit der invarianten NST(s=-2) und dem Verstärkungsfaktor K=4 aus der Diagonalform direkt ablesen kann? (das soll laut Lösung nämlich möglich sein).
Kann mir da jmd. helfen? Smile

Danke und Gruß

p.S. leider weiß ich nicht, wie man Matrizen hier im Forum schreiben kann - kann mir ja einer vllt. nebenbei noch kurz sagen Wink

Epfi

Forum-Meister


	Beiträge: 1.134

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Verfasst am: 27.09.2015, 14:26 Titel:

Einfach links auf Mathematik-Formeleditor öffnen drücken... Und dann ein LaTeX-Handbuch zur Hilfe nehmen.

Was soll denn der Term bz^T darstellen?

Allgemein gilt ja für die Übertragungsfunktion
$\mathbf{G}(s) = \mathbf{C}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + \mathbf{D}$

Setzt man nun Deine Werte ein, erhält man
$\mathbf{G}(s) = \begin{pmatrix}1 & 3\end{pmatrix}\left(s\begin{pmatrix}1 & 0\\0&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-3 & 0\\0&1\end{pmatrix}\right)^{-1}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

Vereinfacht bekommt man dann
$\mathbf{G}(s) = \begin{pmatrix}1 & 3\end{pmatrix}\left(\begin{pmatrix}s+3 & 0\\0&s-1\end{pmatrix}\right)^{-1}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

Die Inverse einer Diagonalmatrix bekommt man, indem man einfach von jedem Wert den Kehrwert berechnet und den dann dahin schreibt, wo auch der ursprüngliche Wert stand:
$\mathbf{G}(s) = \begin{pmatrix}1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{s+3} & 0\\0&\frac{1}{s-1}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$
Ausmultiplizieren zum Ersten ergibt
$\mathbf{G}(s) = \begin{pmatrix}1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{s+3}\\\frac{1}{s-1}\end{pmatrix}$
Ausmultiplizieren zum Zweiten macht
$\mathbf{G}(s) = \frac{1}{s+3}+\frac{3}{s-1}$

Wenn Du das jetzt auf einen Nenner bringst, kannst Du auch zurückverfolgen, wo Deine Nullstellen herkommen. Den Schritt darfst Du als Fingerübung aber selbst rechnen :-)


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