Newmark Methode für nichtlineare Schwingungen

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Verfasst am: 23.05.2017, 11:53 Titel: Newmark Methode für nichtlineare Schwingungen

Hallo Zusammen,

auf Grundlage des Buches "Dynamics of Structures" von Chopra möchte ich gerne die Newmark Methode für nichtlineare Schwingungen implementieren. Die Erklärung zu dieser Methode und die beiden Algorithmen (modified Newton-Raphson iteration kombiniert mit newmark´s method for nonlinear systems) habe ich als pdf Datei in den Anhang gepackt.

Meine bisherige Umsetzung dieser Algorithmen sieht nun wie folgt aus:

Code:

function [u, udot, u2dot] = newmark_int_nlin(t,p,u0,udot0,m,k,c,gamma,beta,Werkstoffmodell,Solver)
%Newmark's Method for nonlinear systems
%--------------------------------------------------------------------------
% Integrates a nonlinear 1-DOF system with mass "m", spring stiffness "k", damping
% coeffiecient "c" and nonlinear force "fs", when subjected to an external load P(t).
% Returns the displacement, velocity and acceleration of the system with
% respect to an inertial frame of reference.
%
% SYNTAX
% [u, udot, u2dot] = newmark_int_nlin(t,p,u0,udot0,m,k,c,gamma,beta,Werkstoffmodell,Solver)
%
% INPUT
% [t] : Time Vector [n,1]
% [p] : Externally Applied Load [n,1]
% [u0]: Initial Position [1,1]
% [udot0]: Initial Velocity [1,1]
% [m]: System Mass [1,1]
% [k]: System Stiffness [1,1]
% [c]: System Damping [1,1]
% [gamma]: Newmark coefficient [1,1]
% [beta]: Newmark coefficient [1,1]
% [Werkstoffmodell]: material model parameters
% [Solver]: solver parameters
%
% OUTPUT
% [u]: Displacemente Response [n,1]
% [udot]: Velocity [n,1]
% [u2dot]: Acceleration [n,1]
%
% N = number of time steps
%
% The options include changing the value of the "gamma" and "beta"
% coefficient which appear in the formulation of the method. By default
% these values are set to gamma = 1/2 and alpha = 1/4.
%%

dt = t(2) - t(1); %timestep
a = m/(beta*dt) + gamma*c/beta; %newmark coefficient
b = 0.5*m/beta + dt*(0.5*gamma/beta - 1)*c; %newmark coefficient
TOL = 1e-6; %Tolerance
j_max = 100; %max iterations

dp = diff(p); %external force
u = zeros(length(t),1); udot = u; u2dot = u;
u(1,1) = u0; %initial condition
udot(1,1) = udot0;%initial condition
u2dot(1,1) = 1/m*(p(1)-k*u0-c*udot0-Fresfun(u(1,1),t(1),Werkstoffmodell,Solver)); %initial condition
% u2dot(1) = 1/m*(p(1)-k*u0-c*udot0);

for i = 1:(length(t)-1) %for each timestep

dp_dach = dp(i) + a*udot(i,1) + b*u2dot(i,1);
% ki = (Fresfun(u(i+1,1),t(i),Werkstoffmodell,Solver)-Fresfun(u(i,1),t(i),Werkstoffmodell,Solver))/(u(i+1,1)-u(i,1));%tangent stiffness
ki = k;
ki_dach = ki + gamma/(beta*dt)*c + m/(beta*dt^2); %tangent stiffness

% modified Newton Raphson iterative procedure

% initialize data
j = 2;
u(i+1,1) = u(i,1);
fs(i,1) = Fresfun(u(i,1),t(i),Werkstoffmodell,Solver);
dR(1) = 0;
dR(2) = dp_dach;
kT = ki_dach;
% calculation for each iteration
while j < j_max
du(j) = (dR(j))/kT;
u(i+1,j) = u(i+1,j-1)+du(j);
fs(i,j) = Fresfun(u(i,j),t(i),Werkstoffmodell,Solver); %compute fs(j)
df(i,j) = fs(i,j)-fs(i,j-1)+(kT-k)*du(j);
dR(j+1) = dR(j)-df(i,j);
du_sum = sum(u,2);
if du(j)/du_sum(j) < TOL % repetition for next iteration
break;
end
j = j+1;
end
du(i) = du_sum(j);
dudot_i = gamma/(beta*dt)*du(i) - gamma/beta*udot(i) + dt*(1-0.5*gamma/beta)*u2dot(i);
du2dot_i = 1/(beta*dt^2)*du(i) - 1/(beta*dt)*udot(i) - 0.5/beta*u2dot(i);
u(i+1) = du(i) + u(i);
udot(i+1) = dudot_i + udot(i);
u2dot(i+1) = du2dot_i + u2dot(i);
Werkstoffmodell.fnUpdateStateVariables;
end

Funktion ohne Link?

In dieser Form funktioniert der Code aktuell noch nicht. Insbesondere bei dem "modified newton raphson algorithm" bin ich mir bei meiner Implementierung nicht sicher und könnte Hilfe gebrauchen.

Ich freue mich über jede Art von Feedback zu diesem Thema.

Viele Grüße

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Verfasst am: 23.05.2017, 13:32 Titel: Re: Newmark Methode für nichtlineare Schwingungen

Hallo Codename,

Es ist ziemlich aufwändig, das Kapitel Deines Buchs durchzulesen und die Aussage
"In dieser Form funktioniert der Code aktuell noch nicht" zu überüprüfen. Darum ist es unwahrscheinlich, dass Du hier im Forum eine Lösung bekommst. Die meisten Wissenschaftler kommen kaum hinterher mit dem Lesen der Publikationen, die die eigene Arbeit betreffen. Darum lesen sie wohl kaum die Veröffentlichung zu deinem Problem.
Effizienter ist es, wenn du eine konkrete Frage stellst und dazu nur den relevanten Code postest. Was funktioniert genau noch nicht?

Gruß, Jan

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Verfasst am: 23.05.2017, 14:12 Titel:

Hallo Jan,

vielen Dank für den Hinweis.

Ich habe aktuell vor allem Probleme bei der Implementierung des Newton-Raphson Algorithmus.
Mein bisher geschriebener Code sieht dazu wie folgt aus:

Code:

% modified Newton Raphson iterative procedure

% initialize data
j = 2;
u(i+1,1) = u(i,1);
fs(i,1) = Fresfun(u(i,1),t(i),Werkstoffmodell,Solver);
dR(1) = 0;
dR(2) = dp_dach;
kT = ki_dach;
% calculation for each iteration
while j < j_max
du(j) = (dR(j))/kT;
u(i+1,j) = u(i+1,j-1)+du(j);
fs(i,j) = Fresfun(u(i,j),t(i),Werkstoffmodell,Solver); %compute fs(j)
df(i,j) = fs(i,j)-fs(i,j-1)+(kT-k)*du(j);
dR(j+1) = dR(j)-df(i,j);
du_sum = sum(u,2);
if du(j)/du_sum(j) < TOL % repetition for next iteration
break;
end
j = j+1;
end
du(i) = du_sum(j);

Funktion ohne Link?

Der dazugehörige Algorithmus ist im Anhang.

Meine Frage dazu:
Die Variablen u und fs habe ich als Matrix mit den Laufvariablen i und j definiert. Ich bin mir dabei aber nicht sicher, ob der Algorithmus in dieser Form funktioniert. Gibt es an dieser Stelle vielleicht Verbesserungsbedarf?

Viele Grüße

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