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Stabilitätsanalyse am digitalen Reglekreis

 

Thommy_regelt

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     Beitrag Verfasst am: 23.01.2017, 16:50     Titel: Stabilitätsanalyse am digitalen Reglekreis
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Hallo liebe Regelungstechnikfreunde,

ich habe ein nichtlineares kontinuierliches System mit der Euler- und Trapezregel diskretisieren können (Differenzengleichungen). Daraufhin habe ich einen PI-Regler diskretisiert und an das diskrete Modell angeschlossen. Jedoch möchte ich eine Stabilitätsanalyse im diskreten Fall durchführen.
Hierfür habe ich mich an die Lyapunovs direkte Methode ran gemacht und einen noch "akzeptablen" P- bzw. I-Anteil bestimmen können. Jedoch passt mir das Ergebnis nicht, da laut meinen Berechnungen ein sehr kleines kp=-20 notwendig sein muss, damit asymptotische Stabilität vorhanden ist. Aber ich habe mal geschaut was wäre, wenn kp=-10 oder kp=-1 ist. Da ist der digitale Regelkreis ebenfalls stabil.
Nun, meine Frage an der Stelle ist also, kennt ein anderer eine Methode um bei diskreten und nichtlinearen Regelkreisen eine Stabilitätsanalyse durchzuführen?

Gruß
Thommy


Erano1
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     Beitrag Verfasst am: 23.01.2017, 19:37     Titel:
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Hallo Thommy.

es ist hilfreich, wenn du deine Systemgleichungen, Blockschaltbild oder ähnliches postest, damit man sich direkt ein Bild vom System machen kann. Genauso wäre es gut, wenn du direkt die Lyapunov-Funktion mit angibst.

Zum Thema selber: Das du eine Lyapunovfunktion hast welche nur die notwendigen Bedingungen einer Lyapunovfunktion mit diesem kp=-20 erfüllt, heißt ja nicht automatisch, dass es nicht auch andere Regler gibt, die das System stabilisieren. Nur für diese Lyapunovfunktion funktioniert das dann wohl nur mit diesem Wert, aber das kann bei einer anderen Lyapfunktion schon wieder anders aussehen.

Wie willst du das System regeln? Um eine Ruhelage? Soll ein Sprung von einer zu einer anderen Ruhelagen erfolgen oder soll das System eine Trajektorie abfahren?

Viele Grüße,
Erano1
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Thommy_regelt

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     Beitrag Verfasst am: 24.01.2017, 09:46     Titel:
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Hallo Erano1,

meine Gleichung im kontinuierlichen lautet:

y(t)=Ay(t)^3 + By(t)^2 +Cy(t)+D+Eu(t).

Hierauf habe ich die Euler und Trapezregel angeandt und in Simulink als Differenzengleichung implementiert, wobei ich Delays verwende und die Einstellung des solvers auf discrete mit fix Sampletime Ta realisiere:

Euler beispielsweise:
y(k+1)=Ta*( Ay(kTa)^3 + By(kTa)^2 + Cy(kTa) + D + Eu(kTa) ) + y(k).

Für die Stabilitätsanalyse habe ich eine Betragskandidatenfunktion gewählt, die die Kriterien einer Laypunovfunktion zunächst erfüllt.
Laut Lyapunov für zeitdiskrete Systeme lautet die Bedingung:

deltaV=V(y(k+1))-V(y(k))<0. Das deltaV steht in diesem Fall für die Ableitung im konitnuierlichen.
deltaV=|Ta*( Ay(kTa)^3 + By(kTa)^2 + Cy(kTa) + D + Eu(kTa) ) + y(k)|-|y(k)|<0.

Ich habe es über zwei Schritte hinweg geschafft, dass in diesem Fall das kp
abhängig von den Modellparametern ist und es geschafft einen Ausdruck für kp zu erlangen, der unabhängig von y(k) ist. Hierfür habe ich gesagt, wenn der erste Betrag 0 ist, ist deltaV immer kleiner 0, wegen des ztweiten Betrags.
Aber da blieb noch die Abhängigkeit von y(k), dieses Problem habe ich gelöst, indem ich die Nullstellen des ersten Betrags berechnet habe und 2 Nullstellen belkam, deren Imaginärteil ich zu 0 gesetzt habe, damit eine reale bzw. zwei Nullstellen entstehen, wodurch ich dann das kp entnehmen konnte.
Das ki habe ich quasi schon gelöst.

Ich muss einen PI-Regler anschließen und das ganze System regeln. Bin auch schon auf die Idee gekommen das System zu linearisieren und dann zu diskretisieren, anhand dieser bin ich auch quasi auf die betraglich kleineren kp gekommen.
Ja, ich gebe sprungförmige Sollwerte vor, die gut erreicht werden und ich ich weiß auch, dass mein Ergebnis anhand von Lyapunov nur eine lokale Lösung ist und nicht global, aber sie könnte meiner Meinung nach etwas präziser ausfallen.
 
Erano1
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     Beitrag Verfasst am: 24.01.2017, 20:58     Titel:
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Hallo Tommy,

erst einmal interessant die Lyapunovfunktion als eine Betragsfunktion anzusetzen. Das habe ich bisher noch nicht gesehen und daher würde mich einfach mal interessieren mit welchem Verfahren man da auf eine Lyapfunktion kommt? Also rein von der Intuition würde ich vermuten, dass das verwenden von quadratischen Lyapunovfunktionen (QLFK) einfacher und anschaulicher ist.

Ohne auf den Ansatz mit der Betragsfunktion genauer einzugehen (dazu fehlt mir gerade bisschen die Zeit) möchte ich fragen, ob du schon mal versucht hast eine QLFK zu verwenden? Ich finde mit der indirekten Methode und der Vorgabe von P (in der Dokumentation von Matlab X) kann man sich da mit dem "lyap-Befehl" für das linearisierte Modell sehr schön die passende Lyapunovfunktion bzw. Ableitung bestimmen. Hast du, wenn du linearisiert und diskretisiert hast auch dafür die Betragsfunktion verwendet? Wenn ja würde ich es einfach mal mit QLFK versuchen.


Viele Grüße,
Erano1
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Thommy_regelt

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     Beitrag Verfasst am: 25.01.2017, 10:12     Titel:
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Hallo Erano1,

die Betragsfunktion ist insofern besser zu behandeln, dass ich mir nur das Innere des Betrags anschaue, damit deltaV<0 wird. Denn wenn der erste Betrag zu 0 wird, dann bekomme ich die Bedingung erfüllt.

Die quadratische Funktion habe ich auch angewendet, jedoch liegt da das Problem, dass ich die Abhängigkeit meines kp vom Ausgang y(k) nicht beheben kann. Da bleibt eine Ungleichung:

y(k)^2 + (B/A) y(k) + (C-E*kp)/(A)<|1|.

Hier ist das Problem, wie ich das an der Stelle löse. Mir ist bewusst, dass ich zwei Bedingungen erhalte, jedoch durch die Ungleichung für <1 && >-1 kann ich nicht einfach auf ein kp schließen. Habe mir die Grenzfälle mal angeschaut also einfach die Ungleichungen zu 0 gesetzt, aber da kommen keine plausiblen Ergebnisse bei heraus.

Bei dem linearisierten Modell habe ich das System quasi allg. für alle Arbeitspunkte linearisiert und darauf das Hurwitzkriterium angewendet, indem ich die w-Trafo verwendet habe. Da habe ich eine Gleichung heraus in die ich nur den Arbeitspunkt einsetzen brauch und dem entsprechend ein kp für den jeweiligen Arbeitspunkt erhalte. Aber ich wollte halt ein kp für das ganze System finden.

Simulativ habe ich die Grenze eigentlich gefunden, die liegt so bei kp muss kleiner sein als -0.9. Aber analytisch benötige ich es leider auch :\

Gruß
Thommy
 
Thommy_regelt

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     Beitrag Verfasst am: 25.01.2017, 12:22     Titel:
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Hallo Erano1,

habe mir mal das linearisierte Modell angeschaut und 10 Arbeitspunkte vorgenommen. Dabei bin ich auf etwas gestoßen.


Arbeitspunkte:
0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1

das dazugehörige kp kleiner sein muss als:
1.1219 |0.1274 |-0.5263 |-0.8391|-0.8109 |-0.4419 |0.2680 |1.3188 |2.7106 |4.4432.

Da siehst du, dass bei dem Wert von 0.4 für den Arbeitspunkt das geringste kp liegt. Dieser erfüllt für alle eigentlich die Bedingung. Es ist natürlich nur für diesen Fall zufällig erfüllt, da dieses Vorgehen kein allgemein gültiges ist.

Ich habe wieder etwas numerisch gelöst, aber auf den analytischen vor allem allgemein gültigen Ansatz werde ich wahrscheinlich nicht kommen ?!

Gruß
Thommy
 
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