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Verständnisproblem Sinus FFT

 

Kababär
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     Beitrag Verfasst am: 09.01.2016, 14:42     Titel: Verständnisproblem Sinus FFT
  Antworten mit Zitat      
Hi,

wie oben genannt, verstehe ich nicht, wieso ein Sinussignal nach einer FFT, also nach der Übertragung aus einem Zeitbereich in einen Frequenzbereich wobei ich mit Bereich eigentlich Spektrum meine, für den Real- und Imaginärteil jeweils dementsprechend viele Ausschläge aufweist.
Hier ist ein Ausschnitt von Wikipedia.


[img]https://de.wikipedia.org/wiki/Frequenzspektrum#/media/File:Geigentonspektrum.svg[/img]

Kann mir das jemand erklären?
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DSP
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     Beitrag Verfasst am: 09.01.2016, 14:59     Titel:
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Hallo,

geht es dir speziell um den Real- und Imaginärteil oder doch eher um Betrag (Amplitude) und Phase eines Signals, welche man für die Darstellung des Spektrums berechnet?
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Friidayy
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     Beitrag Verfasst am: 11.01.2016, 03:55     Titel:
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Verstehe deine Frage nicht ganz, kann dir aber das Bild erklären.

Aus dem Gesamtsignal werden 2 Ausschnitte betrachtet (rechter und linker mittlerer Plot). Fangen wir mit dem rechten Plot an, hier sieht du eine klassische Sinusschwingung mit einer bestimmten Amplitude und einer Frequenz. Was du jetzt in dem dazugehörigen FFT Spekturm (Plot ganz unten rechts) siehst, ist ein Peak bei der Frequenz mit der der Sinus schwingt. Die restlichen Frequenzen kommen quasi nicht vor und sind deshalb bei 0.

Jetzt zum linken Plot, hier sieht man schon das das Signal aus mehreren Sinusschwingungen besteht mit jeweilis unterschiedlichen Frequenzen und Amplituden. Genau das sieht du jetzt auch in dem FFT Spekturm, mehrere Peaks bei den Frequenzen, die im Signal vorkommen. Allgemin kann man sagen, dass man jedes Signal in eine anzahl von Sinusschwingungen mit zugehörigen Frequenzen und Amplituden zerlegen kann.
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Kababär
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     Beitrag Verfasst am: 12.01.2016, 02:56     Titel:
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Danke, ich habe es, glaube ich mal, verstanden Smile
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DSP
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     Beitrag Verfasst am: 13.01.2016, 18:59     Titel:
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Glauben ist nicht wissen und schon gar nicht verstehen Wink

Die DFT (FFT ist nur ein spezieller Algorithmus zur Verringerung der Rechenzeit) zerlegt ein diskretes, also abgetastetes Signal in einzelne Sinus- und Cosinusterme, wie Friidayy bereits erwähnt hat. Grundlage der DFT ist die Fourierreihe.



Das Ergebnis der FFT wird in Real- und Imaginärteil angegeben, wobei der ReT die Cosinusterme enthält, und der ImT die Sinusterme.

Aber mal genug von der Mathematik. Grundlegend muss man sich folgende Vorgehensweise bewusst machen, wobei 3 Parameter entscheidend sind.

Code:

Fa = ... % Abtastfrequenz
nfft = ... % Anzahl Messwerte im Messfenster
df = Fa/nfft; % diskrete Schrittweite = Frequenzauflösung des Spektrums

fv = 0 : df : Fa/2; % Frequenzvektor
 


Die DFT bestimmt nun zu jeder diskreten Frequenz die Koeffizienten a und b. Jedes periodische Signal lässt sich durch eine Fourierreihe nachbilden. Das Signal im rechten Signalausschnitt besteht aus vielen Signalanteilen unterschiedlicher Frequenz und Amplitude, wobei wenige niederfrequente Sinus von der Amplitude her dominant sind und von mehreren höherfrequenten Anteilen überlagert werden. Das Spektrum zeigt dann eben die Zerlegung in jedes einzelne Glied. Würde man die einzlenen Glieder wieder aufsummieren, entsteht wieder das Gesamtsignal. Wobei neben der Information aus Frequenz und Amplitude auch noch die Phase benötigt wird.

Wie du mit der Definition von df schon siehst, hat jedes Spektrum eine gewisse Auflösung. Die DFT kann nur zu jeder diskreten Frequenz 0*df, 1*df, 2*df,...,N*df den Signaanteil aus dem Gesamtsignal bestimmen. Nehmen wir an die Auflösung df sei 1Hz. Ein Sinus mit f = 50Hz könnte somit exakt erfasst werden, da f ein ganzes Vielfaches von df ist. Liegen nun Frequenzanteile des Signals genau zwischen 2 diskreteten Frequenzen, sind also kein ganzes Vielfaches von df, kommt es zu Ungenauigkeiten. Man nennt dies Leakage-Effekt. Es wird dann nicht nur eine Linie im Spektrum bei der realen Signafrequenz zu sehen sein, sondern auch rechts und links weitere Nebenmaxima, die nach aussen hin immer weiter in der Amplitude abnehmen. Nun besteht das Signal natürlich nicht aus den Frequenzen und Amplituden der Nebenmaxima...es ist eine Ungenauigkeit. Der Fehler ist dann am Größten, wenn die Signafrequenz f genau in der Mitte von 2 benachbarten diskreten Frequenzschritten liegt. Das linke Bild zeigt so einen Fall, denn der Hauptpeak bei ca. 300Hz wird unten immer breiter. Mal abgesehen davon, dass auch die Amplitude in dem Zeitfenster sichtbar schwankt. Ein reiner Sinus kann es also auch nicht sein.

Der Leakage Effekt führt nicht nur zu Nebenmaxima sondern auch dazu, dass die ermittelte Amplitude geringer als die tatsächliche Signalamplitude ist. Zur Minderungen des Effekts werden Fensterfunktion wie Hanning, Hamming etc. eingesetzt. Da man sich bei realen Messsignalen nie sicher sein kann, ob die Bedingung von df und f als ganzahliges Verhältnis zutrifft, sollte man daher immer eine Fensterfunktion nutzen.

Ich hoffe das ist verständlicher und bringt dich mehr zum Wissen als zum Glauben bei dieser Thematik Wink

Gruß DSP
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