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Jacobi-Matrix

 

bastibe2689
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     Beitrag Verfasst am: 05.10.2011, 14:34     Titel: Jacobi-Matrix
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Hallo liebe User,

folgendes Problem:
Ich habe ein nicht lineares Gleichungssystem und möchte dieses lösen.
Dazu habe ich eine Jacobi-Matrix numerisch berechnet.
Nun möchte ich es sie aber exakt lösen, hat irgendjemand einen Lösungsansatz oder eine idee, wie dies von statten gehen könnte?

Ich wäre über jede Antwort oder Anregung dankbar. Smile

Liebe Grüße
Bazzinga
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Kevin
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Beiträge: 93
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     Beitrag Verfasst am: 05.10.2011, 16:00     Titel:
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Hallo,
ich würde mit Levenberg-Marquardt dran gehen. Was meinst du mit exakter Lösung?
Gruß
Kevin
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bastibe2689
Themenstarter

Forum-Anfänger

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Beiträge: 20
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     Beitrag Verfasst am: 05.10.2011, 17:33     Titel:
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Ich glaube ich habe mir die Frage schon selber beantwortet.
Bei der partitiellen Ableitung für eine Jacobi-Matrix, gibt es eine "Vereinfachungsformel", sodass man nicht jede Gleichung partiell ableiten muss. Diese habe ich benutzt, dadurch wird die Lösung numerisch.
Wenn ich die Gleichungen nun partiell ableite, müsste ich ja die exakte Lösung haben.

Kann jemand meinen Gedankengang nachvollziehen und befürworten? Very Happy

Grüße
Bazzinga
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Harald
Forum-Meister

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     Beitrag Verfasst am: 05.10.2011, 21:03     Titel:
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Hallo,

ich zumindest kann deinen Gedankengang nicht nachvollziehen. Was soll denn diese "Vereinfachungsformel" sein?

Exakt wird eine Lösung in MATLAB generell nur, wenn du mit der Symbolic Math Toolbox arbeitest, z.B. SOLVE.

Grüße,
Harald
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Thomas84
Forum-Meister

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     Beitrag Verfasst am: 06.10.2011, 08:56     Titel:
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Ich rate mal: er meint mit der Vereinfachungsformel den Differenzenquotienten bzw. das mehrdimensionalle Analogon
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bastibe2689
Themenstarter

Forum-Anfänger

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Beiträge: 20
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     Beitrag Verfasst am: 06.10.2011, 12:15     Titel:
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Tut mir leid, ich versuche es nochmal.
Ich will die Jacobi matrix eines nicht lineares gleichungssystems errechnen.
Dies habe ich dann erstmal über eine "Vereinfachungsformel", man nennt es glaube ich exakt "zentrale Differenz", gemacht. Dies wäre dann ja die numerische Lösung für die Ableitung der Gleichungen.
Die exakte Berechnung der Jacobi-Matrix, wäre dann ja meiner Meinung nach, wenn man die Gleichung "normal" ableiten.
z.B.
x^2+y^2+1 ---> nach x: 2x
nach y: 2y

Also sähe die Jacobimatrix quassie so aus: (2x 2y)

Ich würde jetzt gerne wissen, ob ich die zwei Lösungsverfahren "richtig" zugeordnet habe, im Sinne von exakt und numerisch.
Ich hoffe sehr das es nun etwas deutlicher geworden ist.

LG
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Jan S
Moderator

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     Beitrag Verfasst am: 06.10.2011, 12:42     Titel:
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Hallo bastibe2689,

Ich verstehe die Frage immer noch nicht. Es sieht eigentlich so aus, als habest Du Deine Frage bereits selbst beantwortet.

Du hast die Jacobi-Matrix symbolisch gelöst, also die Matrix der partiellen Ableitungen.

Die Differenzen-Quotienten zu benutzen ist eine der möglichen numerischen Lösungen. Das Problem dabei bleibt, die Schrittweite der Differenz zu bestimmen: Wenn sie zu groß ist, wird die Nicht-Linearität der Gleichung zu stark "verbogen", wenn sie zu klein ist, werden die Rundungsfehler wegen der Auslöschung im Nenner des Quotienten zu groß. Zur Bestimmung der besten Schrittweite benötigt man eine Abschätzung der zweiten Ableitungen - wozu wieder ein Differenzen-Quotient benötigt wird... Darüber kann man auch heute noch eine Doktorarbeit verfassen.

Der zweiseitige Differenzen-Quotient ist stabiler als der einseitige (siehe die GRADIENT Funktion).

Hilft Dir das irgendwie weiter?

Gruß, Jan
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bastibe2689
Themenstarter

Forum-Anfänger

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Beiträge: 20
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     Beitrag Verfasst am: 06.10.2011, 18:23     Titel:
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Hallo,

ja eure Antworten haben wir sehr dabei geholfen, mir meine Frage selber zu beantworten. Smile
Ich denke so ist es am besten ausgedrückt.
Ich danke euch für eure Zeit und Bemühungen. Smile

Vielen Dank!

BB
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