ODE 2. Ordnung ohne Reduktion mit Matlab lösbar

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xedosh

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Verfasst am: 02.09.2009, 11:32 Titel: ODE 2. Ordnung ohne Reduktion mit Matlab lösbar

Hallo Leute,

ich habe die ODE Ax'' + Bx = F und dabei sind, z.B. die Matrizen A und B jewels 2000x2000 groß. Gibt es eine Möglichkeit, diese ODE nun direkt einzugeben?
Die Reduktion per Hand wäre mehr als mühselig.

Ansonsten, wenn das nicht geht. Welche Möglichkeiten seht ihr das Problem zu lösen?

Vielen Dank bereits jetzt für eure Hilfe und Mühe!

Grüße,

XeDoSh

Harald

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Verfasst am: 02.09.2009, 21:39 Titel:

Vorschlag:
1. Umformulieren in ein System erster Ordnung.
2. Verwendung von ode45 oder ähnlichem (mit einer "mass matrix", siehe Doku von ode45)

Sind diese Matrizen dünnbesetzt? Falls ja, sollte man das ausnutzen...

Grüße,
Harald

xedosh

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Verfasst am: 06.09.2009, 10:51 Titel:

Hallo Harald,

erstmal danke für deine Antwort. Das Problem an der Sache ist die Größe des Systems. Sicherlich kann ich das System auf ein System von ODEs 1. Ordnung bringen (Reduktion). Aber ich wollte darauf anspielen, dass ich ja bei einer 2000x2000 Matrix letztlich 4000 Gleichungen aufstellen muss. Daher war meine Frage, ob es da nicht eine andere bekannte Lösung gibt.

Beste Grüße,

Andreas

Harald

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Verfasst am: 06.09.2009, 12:25 Titel:

Hallo Andreas,

mir ist zumindest keine bekannt. Und natürlich sollte man da nicht jede Gleichung einzeln nehmen, sondern mit den Matrizen arbeiten... also u = x' und dann mit Hilfe der gegebenen Matrizen (als ganze!) Gleichungen für x' und u' erstellen.

x' = u
A u' = F - B*x

Damit sieht das DGL-System in MATLAB-Notation in etwas so aus

[eyes(length(x)), zeros(length(x)); zeros(length(x)), A] [x; u]'= [u; -B*x + F]

Wie gesagt, ggf. Dünnbesetztheit ausnutzen...

Grüße,
Harald

xedosh

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Verfasst am: 07.09.2009, 16:53 Titel:

Hallo Harald,

das ist sehr interessant. Ist mir so noch nie über den Weg gelaufen.
Ich habe das bisher wie folgt in einem m-File umgesetzt:

Code:

function [t,x]=ODEsolver(n)

% Lade Systemmatrizen entsprechender Groesse
[Ma,S] = systemMat(n);
x = zeros(n,1);

M = [eye(length(x)), zeros(length(x)); zeros(length(x)), Ma];
M = sparse(M);
S = sparse(S);

options = odeset('Mass',M);
x0 = zeros(n,1);
[t,x] = ode23t(@fct, [0 2], x0, options);

function dy = fct(y,t)

dy = [y;
-S*y+F(t)];
end

end

Funktion ohne Link?

n ist die Größe der Objekte (also sind es nxn Matrizen bzw. nx1 Vektoren).
F(t) ist ein 8192x1 Vektor. Dieser wirkt nur in einem Punkt i für einen Moment; wie ich den einbringen kann ist mir noch sehr unklar. Muss aber gehen. *hoff*
Die Funktion systemMat lädt die Systemmatrizen, die ich oben noch A und B gennant habe. Also hier
Ma = A und S = B.
Nun ergeben sich für mich zwei Probleme:
1. Die Defintion der rechten Seite: Wie bewerkstellige ich jetzt quasi das hier
dy = [y(1)
y(2)
...
y(n)
-S(11)*y(n+1)-...-S(1n)*y(2n)
-S(21)*y(n+1)-...-S(2n)*y(2n)
-S(. . .)*y(n+1)-...-S(. . .)*y(2n)
-S(i1)*y(n+1)-...-S(in)*y(2n) + F_i
.........
-S(n1)*y(n+1)-...-S(nn)*y(2n)
]

2. Und die Implementation der Kraft, die als Vektor, wie eben bereits beschrieben, vorliegt.

Danke schon jetzt vielmals!

Andreas

Harald

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Verfasst am: 07.09.2009, 20:38 Titel:

Hallo,

y ist der gesamte Vektor, in meiner Notation [x; u]

Code:

function dy = fct(t,y) % Reihenfolge wichtig!!

x = y(1:end/2);
u = y(end/2+1:end);
dy = [u; -B*x + F];
end

Funktion ohne Link?

Wenn F nur "für einen Moment" wirkt, dann könnte man sagen

F = F0 für t <= Wert
F = 0 für t > Wert

wobei Wert dann die Länge des Moments ist.

Grüße,
Harald


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