2D-Wärmeleitungsgleichung lösen (inhomogene PDE) ADI-Verfa

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Verfasst am: 17.10.2012, 21:40 Titel: 2D-Wärmeleitungsgleichung lösen (inhomogene PDE) ADI-Verfa

Hallo zusammen,

ich möchte gerne die 2D-Wärmegleichung in der Form:
$u_{t}=c*(u_{xx}+u_{yy})+W$
lösen.

Zur Lösung habe ich das ADI-Verfahren gefunden, es arbeitet mit einem Zwischenschritt pro Itteration.

Dazu hab ich folgendes Matlab-Skript geschrieben. Was mir daran gefällt ist das ich dann als Ausgabe eine Matrix mit den Temperaturen habe.

Code:

clear; clc;

%Lösungsmatrix:
U=zeros(16);
%Randbedingungen
U(16,1:end)=[2:17];
U(1:end,16)=[2:17];

W=ones(size(U)-2)+6; %Wärme Quellterm
T=0.8; %Gesamtzeit
dt=0.005;
c=0.05; %Wärmeleitzahl
%Initalisierung:
t=0;
time=0;
Breite=1;
N=size(U);
dx=Breite/(N-1);
mu=(c*dt)/dx^2;
alpha=2/mu;

%Koeffizienten Matrix C bauen, Tridiagonal
haupt=2*ones(N-2,1);
neben=-ones(N-3,1);
A=diag(haupt)+diag(neben,-1)+diag(neben,1);
B=(alpha*eye(N-2)+A);

V=zeros(N);
while t<=T
%Zwischenschritt:
V(2:end-1,2:end-1)=B\((alpha-2)*U(2:end-1,2:end-1)+U(2:end-1,3:end)+U(2:end-1,1:end-2)+(dx^2/c)*W);
%N Dimensionales Gleichungssystem
U(2:end-1,2:end-1)=B\((alpha-2)*V(2:end-1,2:end-1)+V(3:end,2:end-1)+V(1:end-2,2:end-1)+(dx^2/c)*W);
t=10*dt+t;
end

surf(U)
set(gcf,'renderer','zbuffer');

Funktion ohne Link?

Das ganze soll dann nach einem Feinschliff in Simulink eingebetet werden, deswegen brauch ich auch eine möglichst Schlanke Lösung.

Leider ist das noch nicht ganz optimal was die Randwerte betrifft, ich bin nun mit meinem Latein am Ende und hoffe auf ein paar gute Ideen aus diesem Forum wie man diese Nummerische Lösung noch verbessern könnte.

sg
Christian


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