3D Integration (numerisch) über 1D- oder 2D-Funktion

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Terrorhamster

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Verfasst am: 09.08.2015, 20:01 Titel: 3D Integration (numerisch) über 1D- oder 2D-Funktion

Hallo liebe Community,

bisher konnte ich durch Mitlesen und googlen meine MatLab-Probleme lösen, doch jetzt komme ich nicht weiter. Vielleicht findet Ihr eine Lösung meines Problems.

Ich möchte einen Code programmieren, der ein Volumenintegral über eine beliebige symbolische Funktion $f(x,y,z)$ berechnet:

$I = \int_{z}^{} \int_{y}^{} \int_{x}^{} f(x,y,z) \: dx dy dz$

Also z. B. idealerweise so etwas:

Code:

syms x y z

f = x^2 + y^3 - z ;
I = int(int(int( f, x,xMin,xMax), y,yMin,yMax), z, zMin,zMax);

Funktion ohne Link?

So wäre es eigentlich ja gelöst.
Das Problem: die Funktion f generiert sich aus vorangegangenem Code und ist damit a priori unbekannt. Unter Umständen kann es eine Funktion sein, für die kein geschlossenes Integral gefunden werden kann. Deshalb möchte ich numerisch integrieren über den Befehl Integral3 . Meine Funktion wandele ich mit matlabFunction(...) in einen Function_Handle um.

Das Problem ist folgendes:
Ich kann nicht sicherstellen, dass die Funktion $f$ immer explizit x,y und z als Variable enthält. Sie kann z.B. auch nur von x und y abhängen. Sprich:

$f(x,y) = x^2 -2y^2$

muss auch integriert werden können.

Wenn ich jedoch dies mit matlabFunction(...) umwandele, "erkennt" Matlab nur die Variablen x und y:

Code:

syms x y z
f = x^2 - y^2;
ht = matlabFunction(f)

ht =

@(x,y) x.^2-y.^2

Funktion ohne Link?

Damit funktioniert der Befehl Integral3(...) aber nicht mehr.

Also ist meine Frage:

Wie kann ich eine ein- oder zweidimensionale Funktion numerisch über x, y und z integrieren?

Vielen Dank für Euren Support!

Viele Grüße
T-Hamster

Harald

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Verfasst am: 09.08.2015, 22:41 Titel:

Hallo,

mal die Doku zu matlabFunction gelesen? Da steht genau das, was du brauchst.

Code:

ht = matlabFunction(f, 'Vars', {'x', 'y', 'z'})

Funktion ohne Link?

Grüße,
Harald

Terrorhamster

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Verfasst am: 10.08.2015, 12:31 Titel:

Hallo noch einmal!

Danke Harald für die superschnelle Antwort!
Sie hat mich definitiv einen Schritt weiter gebracht!

Allerdings habe ich ein 'neues' Problem festgestellt. Ich bin noch in der Einarbeitungsphase in Matlab, sorry dafür ... Wink

Wie ich gemerkt habe, kann es passieren, dass die Funktion, über die ich integrieren möchte, eine Konstante ist. Scheinbar hat Matlab damit jedoch ein Problem:

Code:

syms x y z

f = sym( 2.3 ) % Als Beispiel für eine "konstante" Funktion

ht = matlabFunction(f, 'Vars', {'x', 'y','z'})

ht =

@(x,y,z)2.3 % Scheinbar hat er ja verstanden, dass es eine "konstante Funktion ist.

% Nun die Integration:
I = integral3( ht , 0,1 , 2,5 , 2,7) % Integration in den Grenzen 0...1 , 2...5 und 2...7

Funktion ohne Link?

Führe ich den Code aus, erscheint eine Fehlermeldung:

Code:

Error using integral2Calc>integral2t/tensor (line 241)
Integrand output size does not match the input size.
[... plus weitere Fehlermeldungen ...]

Funktion ohne Link?

Ich würde ja durch eine if-Abfrage erfragen, ob die Funktion f eine Konstante ist und dann das Integral selbst berechnen, über

$\int_{z_1}^{z_2}\ \! \int_{y_1}^{y_2}\ \! \int_{x_1}^{x_2} \ \! k \, dx \, dy \, dz = k\cdot \left(x_2-x_1\right) \cdot \left(y_2-y_1\right) \cdot \left(z_2-z_1\right)$

aber irgendwie kann das ja nicht der Weisheit letzter Schluss sein ... Oder?

Viele Grüße und noch einmal vielen Dank!

T-Hamster

PS: Oder, falls man das nicht anders machen kann als durch eine if-Abfrage:

Wie formuliere ich die Abfrage?
Mir fiele nur ein, dass ja die Ableitung einer Konstanten = 0 ist. Entsprechend:

Code:

if diff(f,x) == 0
I = k*(x2-x1)*(y2-y1)*(z2-z1)
end

Funktion ohne Link?

Gibt es hier eine Möglichkeit, das eleganter zu machen?

Harald

Forum-Meister


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Verfasst am: 10.08.2015, 12:42 Titel:

Hallo,

Vorsicht: diff(f,x) == 0 wäre auch erfüllt, wenn die Funktion nur von y und z abhängt.

Man könnte das so abfangen:

Code:

ht = @(x,y,z) ht(x,y,z) + 0*x;

Funktion ohne Link?

Dadurch wird ht automatisch zum benötigten Vektor. Solche Sachen sollte man immer dokumentieren, damit später auch noch klar ist, was man sich dabei gedacht hat.

Grüße,
Harald


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