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3D Wärmeleitungsgleichung mit expliziter FDM

 

SteffenB
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Beiträge: 6
Anmeldedatum: 03.11.22
Wohnort: ---
Version: ---
     Beitrag Verfasst am: 07.12.2022, 13:29     Titel: 3D Wärmeleitungsgleichung mit expliziter FDM
  Antworten mit Zitat      
Hallo,

ich bin gerade dabei die 3D Wärmeleitungsgleichung für einen Stahlwürfel in Matlab zu programmieren.
Die Randbedigungen sind konstant und sind auf die aussenflächen bezogen.
Zum Zeitpunkt 0s sind dalle Knoten im inneren des Würfels bei 100 K und die Aussenflächen haben eine konstante Temperatur.

Hier ist der verwendete Code:

Code:
clc;
clear all;
clf;
format short g

fontSize = 18;
tv=1;

% Materialeigenschaften
rho=7850;                    % kg/m3
cp=500;                       % J/kgK
lambda=50;                  % W/mK
alpha=lambda/(rho*cp);% m2/s

% Domänengröße
L=0.1;
B=0.1;
H=0.1;

nx=31;
ny=31;
nz=31;
dx=L/(nx-1);
dy=B/(ny-1);
dz=H/(nz-1);

nt=600; % Anzahl der Zeitschritte
t=600;   % Gesamte Berechnungszeit
dt=t/nt;  % Zeitschrittweite

% CFL Bedingung
CFL=alpha*(dt/(dx^2) + dt/(dy^2) + dt/(dz^2));

%
Tn=zeros(nx,ny,nz);
x=linspace(0,L,nx);
y=linspace(0,H,ny);
z=linspace(0,B,nz);
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);

K=zeros(nx,ny,nz);
K([1 end],:,:)=alpha;
K(:,[1 end],:)=alpha;
K(:,:,[1 end])=alpha;

% Initiale Bedingungen
T=zeros(nx,ny,nz);
T(:,:,:)=100;
t=0;

% Randbedigungen
Tu=600; % unten
To=900; % oben
Tl=400; % links
Tr=800; % rechts
Tv=300; % vorn
Th=300; % hinten

% Seitenflächen
Tn(1,1:nx-1,1:nz-1)=Tv;               % vorn
Tn(ny,1:nx-1,1:nz-1)=Th;              % hinten
Tn(1:ny-1,1:nx-1,1)=Tu;               % unten
Tn(1:ny-1,1:nx-1,nz)=To;              % oben
Tn(1:ny-1,1,1:nz-1)=Tl;               % links
Tn(1:ny-1,nx,1:nz-1)=Tr;              % rechts

% Innere Knoten
Tn(2:ny-1,2:nx-1,2:nz-1)=T(2:ny-1,2:nx-1,2:nz-1);
Tc=Tn;

ct=1;  
cn=1;
% iteration der Inneren Temperaturwerte des Würfels
for n=1:nt
    t=n*dt;
    for i=2:nx-1
        for j=2:ny-1
            for k=2:nz-1
                Tn(i,j,k)=Tc(i,j,k)+dt*(K(i,j,k)/rho/cp)*((Tc(i+1,j,k)-2*Tc(i,j,k)+Tc(i-1,j,k))/dx/dx+(Tc(i,j+1,k)-2*Tc(i,j,k) +Tc(i,j-1,k))/dy/dy+(Tc(i,j,k+1)-2*Tc(i,j,k)+Tc(i,j,k-1))/dz/dz);
            end
        end
    end
    Tc=Tn;
    Tbar=mean(Tn(:));
    cn=cn+1;
    % Visualisierung
    if (mod(t,dt)==0)
        clf;
        %
        f = figure(1);
        f.Position(3:4) = [1080 840];
        %XY
        subplot(2,2,1)
        slice(X,Y,Z,Tn,[],[],[0,H],'cubic');
        set(gca,'FontSize',fontSize)
        colormap(jet)
        xlabel('X -Axis','FontSize', fontSize)
        ylabel('Y -Axis','FontSize', fontSize)
        zlabel('Z -Axis','FontSize', fontSize)
        shading(gca,'interp')
        axis([0 L 0 B 0 H]);
        view(30,30);
        % XZ
        subplot(2,2,2)
        slice(X,Y,Z,Tn,[],[0,B],[],'cubic');
        set(gca,'FontSize',fontSize)
        colormap(jet)
        %set ( gca, 'ydir', 'reverse' )
        xlabel('X -Axis','FontSize', fontSize)
        ylabel('Y -Axis','FontSize', fontSize)
        zlabel('Z -Axis','FontSize', fontSize)
        shading(gca,'interp')
        axis([0 L 0 B 0 H]);
        view(30,30);
        % YZ
        subplot(2,2,3)
        slice(X,Y,Z,Tn,[0,L],[],[],'cubic');
        set(gca,'FontSize',fontSize)
        colormap(jet)
        %set ( gca, 'ydir', 'reverse' )
        xlabel('X -Axis','FontSize', fontSize)
        ylabel('Y -Axis','FontSize', fontSize)
        zlabel('Z -Axis','FontSize', fontSize)
        shading(gca,'interp')
        axis([0 L 0 B 0 H]);
        view(30,30);
        % 3D
        subplot(2,2,4)
        slice(X,Y,Z,Tn,[0,L/2,L],[B/2,B],[0],'linear');
        set(gca,'FontSize',fontSize)
        set(gca,'YDir','normal')
        colormap(jet)
        set ( gca, 'xdir', 'reverse' )
        set ( gca, 'ydir', 'reverse' )
        xlabel('X -Axis','FontSize', fontSize)
        ylabel('Y -Axis','FontSize', fontSize)
        zlabel('Z -Axis','FontSize', fontSize)
        axis([0 L 0 B 0 H])
        view(-150,30);
        hold on
        shading(gca,'interp')
        p = get(subplot(2,2,4),'Position');
        cb=colorbar('Position', [0.93  0.25  0.025  0.6]);
        set(cb,'FontSize',fontSize);
        title(sprintf('xy t = %.2f',t),'FontSize', fontSize);
        sgtitle(sprintf('Durchschnittstemperatur = %.1f Zeit = %.2f minutes',Tbar,t))
        caxis([0, 900]);
        pause(0.1);
    end
end


Leider ändert sich die Temperaturverteilung im Würfel überhaupt nicht.
Ich habe irgendwo einen Fehler gemacht, kann diesen aber nicht finden.

VG
Steffen

end.png
 Beschreibung:
letzter Zeitschritt

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erster Zeitschritt

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Harald
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     Beitrag Verfasst am: 07.12.2022, 13:47     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Hallo,

wo zumindest ein Fehler ist, kann ich dir sagen. Wenn man die Zeile in der innersten for-Schleife so umschreibt:

Code:
dT = dt*(K(i,j,k)/rho/cp)*((Tc(i+1,j,k)-2*Tc(i,j,k)+Tc(i-1,j,k))/dx/dx+(Tc(i,j+1,k)-2*Tc(i,j,k) +Tc(i,j-1,k))/dy/dy+(Tc(i,j,k+1)-2*Tc(i,j,k)+Tc(i,j,k-1))/dz/dz);
if dT ~= 0
       dT
end
Tn(i,j,k)=Tc(i,j,k)+dT;

dann erfolgt keine Ausgabe, d.h. dT ist immer 0. Warum das so ist, müsstest du nun herausfinden.

Grüße,
Harald
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Harald
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     Beitrag Verfasst am: 07.12.2022, 13:50     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Oh... nein, musst du nicht.

Die Werte von K, die du in der besagten Zeile verwendest, sind die im Inneren des Würfels. Die Nicht-Nullwerte von K sind aber am Rand des Würfels.

Grüße,
Harald
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SteffenB
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     Beitrag Verfasst am: 08.12.2022, 12:49     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Hallo Harald,

danke für den Hinweis.
Jetzt läuft alles wie geplant.

VG
Steffen
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