Amplituden- und Phasengang mit Fouriertransformation

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bandchef

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Verfasst am: 27.01.2014, 16:42 Titel: Amplituden- und Phasengang mit Fouriertransformation

Hi Leute!

Mir ist folgendes Signal gegeben: $x(n) = \left( \frac12 \right)^n \cdot u(n)$
Nun soll ich erst auf Papier die korrespondierende Fouriertransformierte des gegebenen Signals berechnen/bestimmen, welche sich so ergibt:
$X(j\omega) = \frac{1}{1-\frac12 e^{-j\omega}}$

Soweit stimmt das auch.

Nun soll ich noch für 501 äquidistante Schritte den Amplituden- und Phasengang mit Matlab plotten lassen. Ich hab nun hierzu folgenden Code entwickelt:

Code:

close all;
%Erzeugung 501 äquidistanter Schritte
w = 0:1:500;
%Umrechnung ins Bogenmaß "Omega"
w = w .* pi/500;

%Fouriertransformierte Werte berechnen
%X_jw = 1 ./ 1-0.5*exp(-i*w);
X_jw = exp(i*w) ./ (exp(i*w)-0.5*ones(1,501));

%Berechnung des Amplituden- und Phasengangs
amplGang = abs(X_jw);
phaseGang = angle(X_jw);

%Plotten von Amplituden- und Phasengang
plot(w/pi, amplGang);
hold on
plot(w/pi, phaseGang);

Funktion ohne Link?

Nun habe ich Fragen zu den Codezeilen 7 und 8.
Die Zeile 8 ist die Zeile, welche durch die Lösung angegeben war. Ich selbst habe aber anfangs die auskommentierte Zeile 7 geschrieben, weil ich mir gedacht habe, dass die Formel die zur Berechnung der Funktionswerte des Phasen - und Amplitudengangs mit dem Matlab-Code und mit der analytischen Formel von mir, welche ich über die Fourierkorrespondenzen gefunden habe, übereinstimmen muss. Wie ich dann "meinen" Phasengang plotten hab lassen, stimmt das dann aber nicht mit dem Plot der Lösung überein!

Was ist hier von mir falsch gedacht geworden?

Was mir auch noch nicht klar ist, ist, warum der Betrag der Fouriertransformation dem Amplitudengang entspricht. Gibts da eine mathematische Definition dafür?
(Was allerdings klar ist, ist dass der Phasengang

Code:

atan(imag(X_jw) ./ real(X_jw))

Funktion ohne Link?

und man somit in Matlab angle(X_jw) schreiben kann.)

Bibonaut

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Verfasst am: 27.01.2014, 17:46 Titel:

Hallo Bandchef,

ich habe nicht geprüft, ob die zwei Ausdrücke (Zeile 7 u. Cool

äquivalent sind, aber bei deinem Ausdruck

X_jw = 1 ./ 1-0.5*exp(-i*w);

fehlen die Klammern im Nenner:

X_jw = 1 ./ (1-0.5*exp(-i*w));

Zum Betrag:
Das Signal ist eine Überlagerung von sich mit der Winkelgeschwindigkeit omega drehenden Zeigern. Deshalb gibt der Winkel die Phasenverschiebung ((Anfangs-)Lage des Zeigers) und der Betrag die Länge des Zeigers (Amplitude) an.

Ich hoffe das hilft Smile

Viele Grüße
Alex


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