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Berechnung eines Polynoms |
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| Theo |
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Verfasst am: 09.01.2011, 18:00
Titel: Berechnung eines Polynoms
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Hallo liebe User,
ich habe ein mathematisches Problem:
Ich möchte ein Polynom 5. Grades , demnach
y=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
Weil es ein ungerades Polynom ist kann ich ja wie folgt umbauen:
y=ax^5+cx^3+ex
soweit korrekt oder?
Außerdem weiß ich das alle koeffizienten reell sind.
Zwei reele Nullstellen sind gegeben: x1 und x2.
Eine komplexe Nullstelle ist ebenso gegeben, mit x3.
Und ein Punkt (x/y) ist ebenso gegeben.
Wie komme ich nun auf den Wert des Koeffizienten a und die dritte reelle Nullstelle x3?
Hab schon einiges versucht, aber n wirklich guten ansatz hab ich nicht.
Meine Kompetenzen sind demnach hier überschritten, ich denke mal eure nicht! 
Liebe Grüße Theo
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| Jan S |
Moderator
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Verfasst am: 09.01.2011, 19:09
Titel: Re: Berechnung eines Polynoms
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Hallo Theo,
Das enthält drei Variablen. Muss für ein ungerades Polynom f unbedingt 0 sein?
Das enthält vier Bedingungen. Das ist mehr als genug, um 3 Koeffizienten zu bestimmen. Das wäre ja eine merkwürdige Aufgabe, oder? Vielleicht ist f dann doch gesucht?
| Zitat: |
| Hab schon einiges versucht, aber n wirklich guten ansatz hab ich nicht. |
Was genau hast Du denn versucht?
Hast Du mal die Werte der Nullstellen in die Gleichung eingesetzt? Also y=0 und x1, x2, x3 eingesetzt? Und dann noch den gegebenen Punkt [x, y]?
Gruß, Jan
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| Theo |
Gast
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Verfasst am: 09.01.2011, 20:19
Titel:
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Hallo,
ich bin davon ausgegangen, das man ein geraden Polynom auf alle geraden Exponenten und ein ungerades Polynom auf alle ungeraden Exponenten reduzieren kann.
Is diese Annahme denn nicht korrekt?
Gesucht ist definitiv nur der Koeffizient a , also der Wert vor dem höchsten Exponenten (x^5) und die dritte reelle Nullstelle.
Habs schon mit einsetzen probiert , aber wirklich weit komm ich damit nicht.
Da ich a) nicht weiß ob ich die allgemein Form so reduzieren darf.
Und b) falls nicht hab ich 5 Unbekannte und 4 Gegebene.
Weiß jemand weiter?
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| Harald |
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Verfasst am: 09.01.2011, 20:58
Titel:
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Hallo,
nein, diese Annahme ist nicht korrekt. Wie Jan schon erklärt hat, verlierst du ja jede Menge Freiheitsgrade. Ein Polynom heißt gerade/ungerade, wenn alle vorkommenden Exponenten von x diese Eigenschaft erfüllen (konstanter Term d.h. Exponent 0 zählt als gerade). Das heißt aber nicht, dass jedes Polynom, bei dem der führende Exponent ("Grad" des Polynoms") gerade bzw. ungerade ist einem (un)geraden Polynom gleichwertig ist.
Denk mal dran, dass mit einer komplexen Nullstelle die Konjugierte davon auch eine Nullstelle ist, du hast also eine 4. Nullstelle. Sind die Nullstellen konkret vorgegeben? Dann schreib das mal in faktorisierter Form hin:
y = a*(x - x1)*(x - x2)*...*(x-x5)
Alles bis auf a und x5 ist ja gegeben.
Dann den gegebenen Punkt einsetzen und schauen, was rauskommt.
Mir geht momentan noch die 6. Bedingung ab, aber vielleicht braucht man die in dem konkreten Fall aus irgendeinem Grund nicht. Es kann auch sein, dass da die Info, dass alle Koeffizienten reell sind, nützlich ist.
Grüße,
Harald
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| Jan S |
Moderator
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Verfasst am: 09.01.2011, 23:07
Titel: Re: Berechnung eines Polynoms
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Hallo Theo,
Was genau heißt denn "ungerades Polynom"? Es gibt Polynome ungeraden Grades. Aber eigentlich bedeutet "ungerade" im Zusammenhang mit irgendwelchen Funktionen (also auch mit Polynomen):
f(x) = -f(-x)
Dann müsste mit x1 auch -x1 eine Nullstelle sein.
Und wie Harald schon sagt ist mit einer komplexen Nullstelle x3 auch die konjugierte Komplexe von x3 eine Nullstelle.
| Zitat: |
Eine komplexe Nullstelle ist ebenso gegeben, mit x3.
Wie komme ich nun auf den Wert des Koeffizienten a und die dritte reelle Nullstelle x3? |
Wenn x3 schon eine komplexe Nullstelle ist, kann es nicht gleichzeitig eine reelle Nullstelle sein.
Gruß, Jan
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| Theo |
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Verfasst am: 10.01.2011, 09:27
Titel:
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Ich muss mich noch mal korrigieren, also x3 ist die fehlende und gesuchte Nullstelle. Und eine komplexe Nullstelle ist zusätzlch noch gegeben die wir jetzt lieber mal als x4 bezeichnen.
Sorry...
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| Theo |
Gast
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Verfasst am: 10.01.2011, 09:32
Titel:
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Ich war der Meinung das ein ungerades Polynom ein Polynom mit ungeradm, höchsten Exponenten ist.
Aber vergessen wir lieber diese Diskussion , sie ist ja nur dank meineer unwissenheit entstanden...
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| Theo |
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Verfasst am: 11.01.2011, 17:02
Titel:
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Also ich denke ich bin einen Schritt weiter:
Ich habe ja die Ausgangsform
y=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+cx+f
Außerdem habe ich 2 Nullstellen gegeben. (N1 und N2)
Eine weitere komplexe Nullstelle gegeben (NK)
Dadurch eine konjungiert komplexe errechnet (NKK)
[Dazu ne kleine Frage der Korrektheit halber:
Die konj. kom. Nullstelle von 3-5j , wäre ja 3+5j]
korrekt?
Dann bin ich wie folgt vorgegangen:
1. Linearfaktoren rausschreiben:
y=(x-N1)(x-N2)(x-NK)(x+NKK)(x-z)
z soll meine gesuchte 5. Nullstelle sein.
Wenn ich nun einen gegebenen Punkt P(x/y) einsetze, könnte ich ja theoretisch nach z auflösen und hätte meine gesuchte Nullstelle.
Ist des überhaupt korrekt so, wie kom ich dann überhaupt auf meine Koeffizienten a-f??
Bitte helft mir nochmal...
Liebe Grüße
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| Harald |
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Verfasst am: 11.01.2011, 19:40
Titel:
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Hallo,
Das, was du in 1. gemacht hast, hatte ich dir an sich geschrieben.
Nur hast du dabei das a unterschlagen, siehe 9.1., 19:58.
Und ja, das ist ansonsten soweit korrekt. Du hast dann zwei Unbekannte a und z, leider aber nur eine Gleichung, die durch einen Punkt gegeben ist. Falls der Punkt komplex ist, werden natürlich zwei Gleichungen draus (für Realteil und Imaginärteil).
b-f bekommst du dann durch ausmultiplizieren. Wenn ich mich richtig erinnere, waren die aber ohnehin nicht gesucht, sondern "nur" a und die unbekannte Nullstelle. Das bliebe dir dann erspart.
Grüße,
Harald
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| Karl |
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Verfasst am: 11.01.2011, 20:24
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Hallo,
Jap da hast du völlig recht, hab ich ganz frech unterschlagen.
Du hast ebenso recht, das ich nur das a brauche.
Und der gegebene Punkt ist nicht komplex.
Viellecht bin ich einfach nicht schlau genug, aber wie löse ich den jetzt alles auf , wenn ich a und z(Nullstelle) als unbekannte habe, aber nur die eine Gleichung (y= a*[Linearfaktoren])?
Is des überhauot möglich?
Bringt mir da der hinweiß noch was, dass alle Koeffizienten reell sind.
Liebe Grüße
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| Harald |
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Verfasst am: 11.01.2011, 21:36
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Hallo,
setz das doch mal ein, und dann sehen wir weiter. Es müsste sich eine Gleichung der Form
y0 = a * faktor * (x0 - z)
ergeben, wobei (x0, y0) der gegebene Punkt ist. Davon ausgehend kann man dann weiter schauen (hatte ich übrigens auch schon geschrieben).
Meines Erachtens wirst du eine weitere Bedingung brauchen, aber ich lasse mich gerne überraschen.
Grüße,
Harald
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Verfasst am: 11.01.2011, 22:11
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Meines erachtens kommt -1893=A*(2.3344e+002-1.5511e001i)*(4.6+z)
heraus.
habe den Punkt P mit x/y und die 4 bekannten Linearfaktoren eingegeben.
Meine "übrig" gebliebene Bedingung ist nur das alle Koeffizienten reell sind.
Ich hatte mal den Gedanken was mit polyfit/polyval zu versuchen, ist den der Ansatz komplett falsch bzw. einen konkreten ansatz gibt es nicht, eher habe ich die Möglichkeit mal in betracht gezogen.
Zwischendurch mal n dickes Dankeschön! 
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Verfasst am: 11.01.2011, 22:19
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Kleine Zusatzfrage:
Was bedeutet der anhang "+e002"?
Hab ich so noch nie gesehen... Oo
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| Harald |
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Verfasst am: 11.01.2011, 22:26
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Hallo,
*10^2 (also *100).
Irgendwann ist immer das erste Mal
Mich erstaunt gerade, dass da etwas imaginäres in dem Faktor steht, bitte nachprüfen.
Ansonsten wie gesagt in Real- und Imaginärteil aufspalten.
Grüße,
Harald
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Verfasst am: 11.01.2011, 22:32
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Da muss doch imaginär und realteil herauskommen oder?
Ich setze ja auch 2 komplexe Nullstellen ein:
bsp.:
NK=3+4j
NKK=3-4j (konjungiert komplex)
wenn ich nun rechne , als bsp:
17=a*(5-3)*(5- *(5-(3+4j))*(5-(3-4j))*(5-z)
In dem Stiel hab ich es gemacht, hab es nur vereinfacht , da meine Zahlen etwas unpraktischer sind. Da würde doch auch Real-/Imaginärteil auftreten.
Würde mich denn die Aufspaltung in Re und Im auf der Suche nach meinen 2 Unbekannten wirklich weiterbringen?
LG
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