chebyshev polynom

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jaloux3

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Verfasst am: 01.11.2012, 12:29 Titel: chebyshev polynom

ich möchte mit matlab die Spannungen berechnen durch Gauss-Chebyshev Quadratur, da sind aber die Vorfaktoren aj von Chebyshev Polynom unbekannt .

MaFam

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Verfasst am: 01.11.2012, 14:31 Titel:

Hallo,

meinst du Chebyshev Polynome der 1. oder 2. Art? Meinst du die Koeffizienten der Polynome, oder meinst du die Gewichte der Summe, die das Integral approximiert?

Grüße, Marc

jaloux3

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Verfasst am: 01.11.2012, 16:13 Titel:

$f(x,t)=\sum\limits_{i=1}^N \sum\limits_{j=1}^m a_{j} T_{j}(s)*\frac{(t-s_{i})[(t-s_{i})^{2}-(\frac{y}{a})^2 ]}{[(t-s_{i})^{2}-(\frac{y}{a})^2 ]}^2$

hallo,
hier ist die Funkion, die ich mit Gauss-Chebyshev Quadrature in matlab lösen wollte.
Die Vorfaktoren $a_{j}$ von chebyshev polynom 1. Art und $a$ sind unbekannt.

MaFam

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Verfasst am: 02.11.2012, 09:04 Titel:

Das ist ja mal ein "Klopper". Sehe ich das richtig, dass es sich um mehrdimensionale Integration handelt?

jaloux3

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Verfasst am: 02.11.2012, 11:06 Titel:

I want to solve and plot the following function with Gauss-Chebyshev quadrature using Matlab code:

$F(t_{k}) = \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N [ \sum\limits_{j=1}^m a_{j} T_{j}(s_{i}) ] \frac{1}{s_{i} - t_{k} }$

where the integration points are:

$s_{i} = \cos(\pi \frac{2i-1}{2N})$ i=1...N

$t_{k} = \cos(\pi \frac{k}{N})$ i=1...N-1

the weights $(\frac{\pi }{N} )$

ich möchte die Chebyshev-Funktion in MatLAB lösen aber ich bin blutiger Anfänger in matlab. Crying or Very sad

jaloux3

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Verfasst am: 02.11.2012, 11:14 Titel:

my task is to evaluate the unknown coefficients $a_{j}$
using MatLAB

MaFam

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Verfasst am: 02.11.2012, 11:25 Titel:

What is the function, the integrand, you are about to calculate the definite integral? Be aware of the general structure of an integrand using the Chebyshev-Gauss Quadrature. It must be something like 1/sqrt(1-x^2)*f(x) where 1/sqrt(1-x^2) is called the weight.

jaloux3

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Verfasst am: 02.11.2012, 14:09 Titel:

$F(t)=\int_ \! (\frac{1}{\sqrt{1-s^{2} } } \frac{Phi(s)}{t-s} ) \, ds$
(integrals are from -1 to +1)
this equation may be solved by the Gauss-Chebyshev integration formulae:
assume that $Phi(s)$ can be appoximated by the fallowing truncated series:

$Phi(s)= \sum\limits_{j=1}^m a_{j}T_{j}(s)$
so that the integral now reads

$\sum\limits_{j=1}^m a_{j} \int_ \! (\frac{1}{\sqrt{1-s^{2} } } )(\frac{T_{j}(s) }{t-s} ) \, ds$ |t|<1
and my task is to evaluate the unknown coefficients $a_{j}$ . The integral may be evaluated through the relation :

for j=0 : \ $int_\! (\frac{1}{\sqrt{1-s^{2} } } )(\frac{T_{j}(s) }{t-s} ) \, ds = 0$
[for j>0 : $\int_ \! (\frac{1}{\sqrt{1-s^{2} } } )(\frac{T_{j}(s) }{t-s} ) \, ds = U_{j-1}(t)$ so that $F(t)=\sum\limits_{j=1}^m a_{j} U_{j-1}(t)$
we next note the fallowing relation :
for j=0
$\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N \frac{T_{j}(s_{i}) }{s_{i}-t_{k}) } = 0$
for 0<j<N :
$\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N \frac{T_{j}(s_{i}) }{s_{i}-t_{k}) } = U_{j-1}(t_{k} )$
where the points are the N roots of $T_{N}(s)$ and the points $t_{k}$ are the $N-1$ roots of $U_{N-1}(t)$ . It follows that
$F(t_{k})=\sum\limits_{j=1}^m a_{j} U_{j-1}(t_{k})=\frac{\pi }{N} \sum\limits_{i=1}^N [ \sum\limits_{j=1}^m a_{j} T_{j}(s_{i}) ] \frac{1}{s_{i} -t_{k} } = \frac{\pi }{N} \sum\limits_{i=1}^N \frac{Phi(s_{i} )}{s_{i} -t_{k} }$
where the integration points are:

$s_{i} = \cos(\pi \frac{2i-1}{2N})$ i=1...N

$t_{k} = \cos(\pi \frac{k}{N})$ i=1...N-1

the weights $(\frac{\pi }{N} )$
Note that the integration has been reduced to the sum and weights $(\frac{\pi }{N} )$ and the integration points s_{i} are the same as used as in the standard Gaussian quadrature formula.

jaloux3

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Verfasst am: 02.11.2012, 14:16 Titel:

das war eine Entführung in Chebyshev Polynom, die ich (blutiger Anfänger) in matlab lösen muss.

MaFam

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Verfasst am: 02.11.2012, 14:40 Titel:

Let's have a look at $F(t_{k})=\sum\limits_{j=1}^m a_{j} U_{j-1}(t_{k})$ .

We assume that $F(t_{k})$ and $U_{j-1}(t_{k})$ are given. That leads to m equations in case there are m different t_k. It's your task to evaluate the unknown coefficients a_j. Therefor you can solve a linear system of equations. Do you agree?

jaloux3

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Verfasst am: 03.11.2012, 13:37 Titel:

yes i agree,
but i need it in matlab, can you help me to solve it in matlab.

MaFam

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Verfasst am: 03.11.2012, 13:58 Titel:

Solving linear equation system in Matlab here: http://www.google.de/url?sa=t&r.....nacadfu5CN8IQ&cad=rja

Furthermore it is helpful to ask specific questions!

jaloux3

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Verfasst am: 04.11.2012, 10:13 Titel:

Hallo;
für das Gleichungssystem mit mehreren variablen
$F(t_{k})=\sum\limits_{j=1}^m a_{j} U_{j-1}(t_{k})$ .

wo

$F(t_{k})$ und $U_{j-1}(t_{k})$ bekannt

und

$a_{j}$ unbekannt.

wie kann ich bitte dieses Gleichungssystem
$a_{j}$ = $U_{j-1}(t_{k})$ \ $F(t_{k})$
in MatLAB lösen.
mir fehlt Code.


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