Dichte bestimmen aus charakteristischer Funktion

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tino1988

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Verfasst am: 17.06.2014, 12:04 Titel: Dichte bestimmen aus charakteristischer Funktion

Servus!

Stehe im Moment ein wenig auf dem Schlauch, vielleicht könnt ihr mir ja helfen.

Ich versuche aus einer charakteristischen Funktion die Dichtefunktion zu bestimmen. Sieht eigentlich auch recht gut aus, zumindest der Plot hat je nach zu Grunde liegender char. Funktion die erwartete Form:

http://de.wikipedia.org/wiki/Charak.....ochastik%29#Umkehrbarkeit

z.B. Standardnormalverteilung:

Code:

%STANDARDNORMALVERTEILT
funktion1 = @(t,x) (1/2.*pi).*exp(-i.*t.*x).*exp(-0.5.*t.^2)

k=1
for j=-3:0.01:3
q(k,1) =integral(@(t)funktion1(t,j),-inf,inf);
q(k,2)=j;
k=k+1
end

plot(q(:,2),real(q(:,1)))

Dichte = sum(real(q(:,1).*0.01))

Funktion ohne Link?

Mein Problem ist nur die Dichte-Berechnung zum Schluss. Egal welche char. Funktion ich zu Grunde lege (hab es noch versucht mit NV und sämtlichen Mittelwerten und Varianzen sowie Gleichverteilung mit zig a's und b's) die Riemann-Summe von der untersten Grenze bis zur obersten ergibt immer knapp unter 10. Erwarten würde man aber knapp unter 1.

Wo kommt der 10er Multiplikator her?

VG,
Tino

tino1988

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Verfasst am: 18.06.2014, 10:35 Titel:

Ok vielleicht sollte ich etwas ausführlicher mein Problem berichten, beim durchlesen habe ich festgestellt dass es mir irgendwie selber nicht ganz klar geworden ist Wink

Also ich habe meine Dichtefunktion ermittelt, indem ich für gegebene 'x' jeweils Werte von -3 bis 3 in 0,01er Schritten durchlaufen lasse.

Da ja gilt:

und ich in 0,01er Schritten gearbeitet habe müsste doch mein dx=0,01 sein. multipliziert mit der Dichtefkt, also bei mir

Code:

sum(real(q(:,1).*0.01))

Funktion ohne Link?

müsste es doch in Summe 1 ergeben (also zumindest fast).

Warum kommt hier fast 10 raus?

Wie gesagt, auch bei den anderen Dichtefunktionen habe ich das selbe Problem.

Thomas84

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Verfasst am: 18.06.2014, 13:01 Titel:

Code:

% Normalverteilung
nu = 0;
sigma = 1;

fun = @(x) 1/sqrt(2*pi*sigma^2)*exp(-(x-nu).^2./(2*sigma^2));
char_fun = @(t) exp(i*nu.*t - 0.5.*t.^2*sigma^2);

% Berechnung der Normalverteilung aus charakteristischen Funktion
x = -3:0.01:3;
for k = 1:numel(x)
f(k) = quad(@(t) char_fun(t).*exp(-i*t*x(k)),-100,100)/(2*pi);
end

% Plot der Normalverteilung
ezplot(fun);
hold on;
plot(x,f,'r+');
legend('Normalverteilung','Normalverteilung aus charakteristischer Funktion');

% "Integral" über Dichtefunktion
sum(real(f))*0.01

Funktion ohne Link?

Ich hab das mal versucht nachzuvollziehen (siehe oben). Dann ist mir der Fehler in deiner Rechnung aufgefallen. Du hast die Klammern in funktion1 falsch gesetzt: 1/(2*pi)*.... statt 1/2*pi
Daher kommt auch der Faktor $\pi^2 \approx 10$

viele Grüße
Thomas

tino1988

Themenstarter

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Verfasst am: 18.06.2014, 14:14 Titel:

Aaaah! Alles klar! Vielen Dank!!


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