Differentiation Integration

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Verfasst am: 25.04.2013, 15:33 Titel: Differentiation Integration

Hallo, folgende Aufgabe:

Der zentrale Differenzenquotient für eine Funktion $f(x)$ mit den Stützpunkten $x_i, i=1,...,n$ berechnet sich als

$f'(x_i)\approx\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{x_{i+1}-x_{i-1}}$ für $i=2,...,n-1$ ,

$f'(x_1)\approx\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}, f'(x_n)\approx\frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}$ .

1.1. Bestimmen und plotten Sie die numerische Ableitung von $f(x)=x\cdot\sin x$ mit 101 Stützpunkten im Intervall $[0,2\pi]$ .

1.2 Plotten Sie den Fehler zwischen der numerischen Ableitung aus 1.1 und der analytischen Ableitung von $f(x)$ .

1.3 Plotten Sie die Funktion $F(x)=\int\limits_{0}^{x}f(\xi)\, d\xi$ . Welchen Wert hat $\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\, dx$ ?

-----------------------

1.1
Ich nehme mal an, man soll hier nicht einfach die numerische Ableitung mit grad berechnen, sondern dazu den angegebenen zentralen Differenzenquotienten benutzen, wenn das da schon steht.

Ich habe das so gemacht:

Code:

x=linspace(0,2*pi,101);
y=x.*sin(x);
z=(2*diff(y))./(2*diff(x));
z(101)=z(100);
plot(x,z);

Funktion ohne Link?

Mir ist nicht ganz klar, wieso man z(101)=z(100) setzen muss (das habe ich aus einem Skript übernommen, wo etwas Ähnliches steht).

Stimmt es aber ansonsten? Den Plot habe ich als Screenshot angehängt.

1.2
Da habe ich ganz einfach Folgendes gemacht:

Code:

g=x.*cos(x)+sin(x); % analystische Ableitung
q=abs(z-q); % Differenz bzw. Betrag zwischen num und anal Ableitung
plot(x,q); % Plot der Differenz

Funktion ohne Link?

1.3
Also zu dem Wert von $\int\limits_0^{2\pi}f(x)\, dx$ habe ich Folgendes gemacht:

Code:

quad(@(m)m.*sin(m),0,2*pi);

Funktion ohne Link?

,

das ergibt -6.28319.

Ich würde meinen, daß man die Funktion $F(t)=\int\limits_0^t f(\xi)\, d\xi$ so schreiben kann:

Code:

F=@(t)quad(@(m)m.*sin(m),0,t);

Funktion ohne Link?

Das Plotten bekomme ich nun aber nicht hin.

Viele Grüße

Differenz.png

Beschreibung:

1.2 Fehler zwischen der numerischen und der analytischen Ableitung

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numerische Ableitung.png

Beschreibung:

1.1 die numerische Ableitung

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