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Eigenwertproblem Programmierung/Mathematik
 

dorennee
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     Beitrag Verfasst am: 05.03.2015, 13:07     Titel: Eigenwertproblem Programmierung/Mathematik
  Antworten mit Zitat      
Hallo,

ich habe eine (nxn)-Matrix A, deren Eigenwerte ich per [V,D] = eig(A) berechnet habe. Die berechneten Eigenwerte machen physikalisch Sinn.
Das problem: Die Matrixelemente von A wurde mittels
<\psi_i|\hat{A}|\psi_j>
erstellt und die Reihenfolge der Eigenwerte muss zur Reihenfolge der Einträge des Eigenvektor |\psi> passen.

Wie kann ich diese Bedingung wiederherstellen bzw. aufrechterhalten?

LG und vielen Dank im Vorraus
dorennee
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dorennee
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Beiträge: 4
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     Beitrag Verfasst am: 09.03.2015, 13:26     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Hallo,

ich bin erstaunt, dass noch keinerlei Antwort auf meine Anfrage kam. Ist meine Frage nicht eindeutig genug bzw. werden noch weitere Informationen benötigt um helfen zu können (wenn ja, welcher Art?). Oder existiert keine Lösung für dieses Problem?

LG dorennee
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Jan S
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     Beitrag Verfasst am: 09.03.2015, 23:24     Titel: Re: Eigenwertproblem Programmierung/Mathematik
  Antworten mit Zitat      
Hallo dorennee,

Die Frage ist nicht klar.
Was bedeutet das:
Zitat:
Die Matrixelemente von A wurde mittels
<\psi_i|\hat{A}|\psi_j> erstellt

Die physikalische Bedeutung der Vektoren spielt hier keine Rolle.

Zitat:
die Reihenfolge der Eigenwerte muss zur Reihenfolge der Einträge des Eigenvektor |\psi> passen.

Bitte erkläre das aus der Sicht eines Matlab-Nutzers, nicht eine Physikers.

Gruß, Jan
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dorennee
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     Beitrag Verfasst am: 10.03.2015, 00:19     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Hallo Jan,

vielen Dank für Deine Antwort - jetzt fühle ich mich nicht mehr ganz so allein Wink.

Ich versuche das ganze etwas näher zu erklären:

Ich habe von der Matrix

Code:


A=
            0   1.0000e+00            0            0            0            0            0            0
   1.0000e+00            0            0            0            0            0            0            0
            0            0            0   1.0000e+00   7.0711e-01            0            0            0
            0            0   1.0000e+00            0            0   7.0711e-01            0            0
            0            0   7.0711e-01            0            0   1.0000e+00   7.0711e-01            0
            0            0            0   7.0711e-01   1.0000e+00            0            0   7.0711e-01
            0            0            0            0   7.0711e-01            0            0   1.0000e+00
            0            0            0            0            0   7.0711e-01   1.0000e+00            0
 


die Eigenvektoren und Eigenwerte per

Code:

[V,D] = eig(A)
 


ermittelt. Diese kommen aufsteigend geordnet heraus:
Code:

Eigenvalue = diag(D)
  -2.0000e+00
  -1.0000e+00
  -1.0000e+00
  -4.5521e-06
   4.5521e-06
   1.0000e+00
   1.0000e+00
   2.0000e+00
 


heraus. Die Reihenfolge der Matrixspalten und -Reihen ist in meinem Fall allerdings von Bedeutung, da die Reihen- und Spaltenindizies mit physikalischen Eigenschaften verknüpft sind.
Ich habe mittlerweile verstanden, dass die k-te Spalte der Eigenvektormatrix zum Eigenwert D(k,k) gehört. (Bitte berichten, wenn ich mich irre Wink.)
Deshalb habe ich auf Basis A*V = Eigenvalue2*V mittels
Code:

Eigenvalue2 = (A*V)./V
 

versucht die Eigenwerte in ursprünglicher Reihenfolge zu ermitteln.
Das Ergebnis ist allerdings schwer zu interpretieren, habe ich einen Denkfehler?

LG dorennee
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laternenjoe
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     Beitrag Verfasst am: 10.03.2015, 01:55     Titel:
  Antworten mit Zitat      
hallo dorenneee,

(ich bin mir nich 100% sicher aber...)

Code:
A*V = Eigenvalue2*V

<==>
Code:
Eigenvalue2 = (A*V)./V


Aber was ich sagen kann ist, dass die Umformung so aufjedenfall falsch ist. "./V" teilt ja das 1. Element von (A*V) durch das erste von V, dann das zweite von (A*V) durch das zweite von V usw.
Die Reihenfolge der Eigenwerte ist meines wissens erstmal egal, solange die Reihenfolge der Basisvektoren(=Eigenvektoren) entsprechend ist. Wenn ich die Reihenfolge der Eigenwerte und Eigenvektoren tausche mache ich einen Basiswechsel. Deshalb wüsste ich nicht, dass es eine richtige Reihenfolge der EW und EV gibt. Die Pärchen erfüllen ja alle das EWP und die Gleichung A*V-V*D=0 bzw. (A-Eigenvalue2*Einheitsmatrix) *ev=0.
Aber hier sind auf jedenfall andere User die deutlich wissender sind als ich das bin und das bestätigen oder widerlegen können. ^^
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Jan S
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     Beitrag Verfasst am: 10.03.2015, 12:44     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Hallo dorennee,

Die Eigenvektoren sind dadurch definiert, dass sie
Code:
A * v = lambda * v

erfüllen. EIG gibt sie nach der Größe sortiert aus, weil es numerisch effizient ist, sie in dieser Reihenfolge zu bestimmen. Aber die Eigenwerte haben keine direkte Beziehung zu Zeilen oder Spalten von A. Eigenwerte und -Vektoren sind keine Eigenschaften einzelner Zeilen oder Spalten - oder?
Mit einer Permutation der Zeilen oder Spalten werden nicht einfach die Eigenwerte permutiert, sondern man erhält andere.

Gruß, Jan
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dorennee
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     Beitrag Verfasst am: 11.03.2015, 23:48     Titel:
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Ok - vielen Dank für die Erklärung(en). Die Reihenfolge ist tatsächlich egal. Die Verknüpfung ist gegeben durch die Spalteneinträge der Matrix der Eigenvektoren.

Ich halte das Thema für gelöst.
Mit besten Grüßen dorennee
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