Erstellen einer Funktionsschar 3. Grades mit 3 Bedingungen?!

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Samil

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Verfasst am: 26.09.2013, 14:45 Titel: Erstellen einer Funktionsschar 3. Grades mit 3 Bedingungen?!

Hallo,

ich möchte eine Funktionsschar 3. Grades erstellen, die von einer Variable abhängig ist. Es stehen 3 Bedingungen zur Verfügung.

Code:

function [f] = funktion1(a,x)

f = a*x^3 + b*x^2 + c*x +d;

a*20^3 + b*20^2 + c*20 + d = 3; %Punkt1 (20;3)
a*27^3 + b*27^2 + c*27 + d = 24; %Punkt2 (27;24)
3*a*27^2 + 2*b*27 + c = 4 %Steigung an der Stelle 27 ist 4

end

Funktion ohne Link?

Nehmen wir an, dass die Funktionsschar anschließend von der Variablen a abhängig ist.
Zuletzt würde ich noch diese Schar plotten.

Ich bin planlos und bin für jeden Hinweis dankbar.

Danke.

Grüße
Samil

Samil

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Verfasst am: 26.09.2013, 15:50 Titel:

Ich habe es mal per hand berechnet und komme auf folgendes Ergebnis.

Code:

f(a,x) = a*x^3 + (-73*a+0.175)*x^2 + (1755*a-5.45)*x -13851*a + 43.575

Funktion ohne Link?

Bräuchte dies dann bei Matlab.

Der Punkt1 lautet doch (19;3.2). Das ist ja aber zunächst nicht so wichtig.
Die Bedingungen lauten

Code:

a*19^3 + b*19^2 + c*19 + d = 3.2; %Punkt1 (20;3)
a*27^3 + b*27^2 + c*27 + d = 24; %Punkt2 (27;24)
3*a*27^2 + 2*b*27 + c = 4 %Steigung an der Stelle 27 ist 4

Funktion ohne Link?

Bibonaut

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Verfasst am: 28.09.2013, 18:34 Titel:

Hallo Samil,

du hast ja für deine Lösung das Gleichungssystem gelöst. Das kann Matlab auch, wenn das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist und das ist nur der Fall, wenn du "a" einen Wert zuweist.

Wie ich das an deiner Funktion sehe, übergibst du ja auch einen Wert für "a" sodass du ein Gleichungssystem aufstellen und mit Matlab lösen kannst. Allgemeine Form ist bekanntlich
$<br /> Ax =b <br />$
wobei x jetzt nicht deine Variable des Polynoms sondern deine Unbekannten sind. Alles was bekannt ist, ist in "b" zusammengefasst. Da "a" bekannt ist und der Funktion übergeben wird, musst du "a" auch auf die rechte Seite ziehen.

Code:

b = [-a*19^3 + 3.2;
-a*27^3 + 24;
-3*27^2 + 4];

Funktion ohne Link?

In der Matrix A stehen die Koeffizienten deiner Unbekannten der drei Gleichungen:

Code:

A = [19^2 19 1;
27^2 27 1;
2*27 1 0];

Funktion ohne Link?

Das Gleichungssystem kannst du dann mit dem Backslashoperator lösen:

Code:

x = A\b;

Funktion ohne Link?

In x stehen dann die drei Unbekannten b,c und d.

Das einzige Problem ist hierbei, dass deine Funktion jedes mal das Gleichungssystem lösen muss.

Wenn du das Polynom in Abhängigkeit von x und a erhalten willst, ohne dass du "a" vorgibst, so wie du es von Hand ausgerechnet hast, kannst du aufgrund der Linearität der Koeffizienten einen Trick anwenden.

Das macht aber nur Sinn, wenn die folgende Berechnung nicht in der Funktion ausgeführt wird, sondern quasi nur als Hilfsmittel dient, um dir deine Funktion f(x,a) zu erstellen.
Du kannst die rechte Seite also das "b" auch auftrennen und zwei Gleichungssysteme lösen, dass du einmal deine Koeffizienten erhälst , die du mit "a" multiplizierst und einmal deine Koeffizienten erhälst, die konstant sind:

Code:

% Koeffizientenmatrix A
A = [19^2 19 1;
27^2 27 1;
2*27 1 0];
% Rechte Seite ohne "a":
b = [3.2;24;4];
% x1 sind konstante Koeffizienten
x1 = A\b;

% rechte Seite = minus Koeffizienten von "a"
b2 = [-19^3;-27^3; -3*27^2];

% x2 sind Koeffizienten die mit a multipliziert werden müssen
x2 = A\b2

Funktion ohne Link?

Ich hoffe das hilft dir Smile

Grüße
Alex


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