Fehlerfortpflanzung und lineare interpolationsgleichung

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Pigmy

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Verfasst am: 26.06.2019, 16:12 Titel: Fehlerfortpflanzung und lineare interpolationsgleichung

Hallo zusammen,

ich habe eine Gleichung:
$C = E*Kf/100$ .
E nimmt dabei konstante fehlerbehaftete Werte an.
Zu dieser Gleichung würde ich jetzt gerne die Fehler abschätzen.
Die Fehlerfortpflanzungsformel sieht ja so aus:
$\sigma_c = sqrt{\left(\frac{\partial C}{\partial E}\right)^2*\sigma_E^2 + \left(\frac{\partial C}{\partial Kf}\right)^2*\sigma_{Kf}^2}$
Die Berechnung von Kf ist etwas aufwändiger. Hierzu habe ich folgende Stützstellen gegeben:

Code:

xs = [0.7; 0.8; 0.9; 1.0; 1.1; 1.2; 1.3; 1.4; 1.5];
ys = [1.29; 1.16; 1.07; 1.00; 0.94; 0.89; 0.85; 0.81; 0.79];[

Funktion ohne Link?

Für beliebige xi Werte zwischen den jeweilige Intervallen soll einfach linear interpoliert werden mit
$yi = y1 + (y2 - y1) / (x2 - x1) * xi - x1)$
also z.B. für xi = 1.45

Code:

x1 = 1.4;
x2 = 1.5;
y1 = 0.81;
y2 = 0.79;

Funktion ohne Link?

Wie stelle ich das jetzt an wenn ich keine Funktionsgleichung für Kf habe?
Gibt es da eine Möglichkeit?

Ich habe direkt daran gedacht, mir mit polyfit eine angenäherte Polynomfunktion zu berechnen und diese in die Fehlerfortpflanzungsformel einzubauen.

Code:

n = 7;
p = polyfit(xs,ys,n);

Funktion ohne Link?

Erhalte damit auch ein R² = 0.99999945...
Wenn ich mir jetzt die Gleichung mit den Polynomen aufstelle oder polyval verwende und z.B. an der Stelle xi = 1 auswerte
$yi= polyval(p,1);$ erhalte ich ein yi = 1.000174... und nicht von 1. Dies ist natürlich logisch aber die Genauigkeit reicht mir nicht aus.
Jetzt könnte ich natürlich einfach immer mehr polynome nehmen, allerdings muss ich diese Gleichung ja auch noch ableiten.

Habt Ihr eine Idee?
Danke für eure Unterstützung

Jan S

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Verfasst am: 26.06.2019, 17:13 Titel: Re: Fehlerfortpflanzung und lineare interpolationsgleichung

Hallo Pigmy,

Ich zumindest kann dir nicht folgen.

Zitat:

Jetzt könnte ich natürlich einfach immer mehr polynome nehmen, allerdings muss ich diese Gleichung ja auch noch ableiten.

Immer mehr Polynome?

Gruß, Jan

Pigmy

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Verfasst am: 26.06.2019, 17:27 Titel:

Vielleicht schlecht ausgedrückt.
Ich könnte ja einfach die polyfit Funktion mit einem höheren Grad verwenden. Dadurch erhalte ich ja auch mehr Polynome (n+1). Dadurch kann ja oftmals die Genauigkeit erhöht werden. Aber ich bekomme eben auch einen zusätzlichen Term.
Aber ich habe die Ableitungen jetzt so weit automatisiert, dass das keine Arbeit mehr macht.
Trotzdem würde ich gerne wissen, wie man in diesem Fall eine genauere Funktionsvorschrift erhält.

Jan S

Moderator


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Verfasst am: 26.06.2019, 21:37 Titel:

Hallo Pigmy,

Zitat:

Ich könnte ja einfach die polyfit Funktion mit einem höheren Grad verwenden. Dadurch erhalte ich ja auch mehr Polynome (n+1).

Nein, polyfit berechnet immer nur ein Polynom. Meinst du: "Dann hat das Polynom mehr Koeffizienten" bzw. "einen höheren Grad"?

Zitat:

Dadurch kann ja oftmals die Genauigkeit erhöht werden.

Das gilt nur in einem sehr begrenzten Bereich. Eine Interpolation mit hohen Polynomengraden neigt zu gigantischem Schwingen in den Randbereichen und ist im Allgemeinen nicht hilfreich.

Zitat:

Trotzdem würde ich gerne wissen, wie man in diesem Fall eine genauere Funktionsvorschrift erhält.

Eine Funktionsvorschrift wofür?

Gruß, Jan

Pigmy

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Verfasst am: 27.06.2019, 08:48 Titel:

Ok, ja, mehr Koeffizienten hat das Polynom dann, das meinte ich.

Eine Funktionsvorschrift für Kf brauche ich, weil Kf wiederum von E und einer weiteren Variable, RE, abhängt. Um dann die Fehlerabschätzung machen zu können, brauche ich doch ne Gleichung für Kf, oder nicht?

Vielleicht probiere ich es noch einmal:

Ich möchte den Fehler der Formel $C = E*GW*Kf/100$ abschätzen. GW hat keinen Fehler. Der Fehler von E ist mir bekannt. Der Fehler von Kf ist mir nicht bekannt. Kf errechnet sich aus den xs und den dazugehörigen ys Werten, bzw. wird dazwischen linear interpoliert. Die xs Werte wiederum ergeben sich aus $xs = E/RE$ . Der Fehler für E ist mir immer noch bekannt und der Fehler für RE auch.

Ist es jetzt vielleicht klarer?
Was ich jetzt gemacht habe ist mir die Polynomsgleichung für Kf mit den Koeffizienten durch polyfit berechnen lassen. Die Koeffizenten kann ich dann ja in die allgemeine Form $Kf = p_1x^n+p_2x^{n-1} + ... + p_{n+1}x^0$ einsetzen und ich bekomme meine angenäherte Gleichung für Kf.
Diese kann ich ja dann in meine Ausgangsgleichung für E einsetzen und die Fehlerabschätzung durchführen.


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