FFT charakteristische Funktion zu Dichte

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tino1988

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Verfasst am: 27.11.2014, 13:02 Titel: FFT charakteristische Funktion zu Dichte

Servus!

Habe folgendes Problem: Möchte gerne beliebige charakteristische Funktionen in eine Dichte mit dem fft() Befehl umwandeln. Leider funktioniert es noch nicht so ganz. Der Plot ist entlang der Y-Achse verschoben:

Code:

N=2^15;

eta=0.4;
lambda=pi/(N/2 *eta); %--> lambda*eta = 2pi/N

j=0:N-1;
k=0:N-1;

x=-0.5*N*lambda+lambda*k;

mu=0;sigma=1;

charF= @(t)1/(2*pi).*exp(1i.*mu.*t - sigma.^2*t.^2/2);

FFT_Input= exp(0.5*1i*N*lambda*eta.*j).*charF(eta.*j).*eta;

A= real(fft(FFT_Input));

plot(x,real(A))

Funktion ohne Link?

Die Fläche unter dem Graphen ergibt eins, das würde schon mal passen. Will ich mir aber die Wahrscheinlichkeit bestimmter Werte ausgeben lassen, also bspw. $\Phi (2)$ ergibt sich laut NV Tabelle ein Wert von 0.9773. In meiner "Normalverteilung" kommen da je nach Rasterung komplett andere Werte raus.

Kann mir jemand helfen?

tino1988

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Verfasst am: 27.11.2014, 13:19 Titel:

Vielleicht noch kurz zur Herleitung. Die richtet sich im Wesentlichen an das Vorgehen von Carr/Madan:

$ f(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty e^{-ixs}\psi(s) \text{d}s $

Sei $s=\eta (j-1)$ :

$ f(x) = \frac{1}{\pi} \sum_{j=1}^N e^{-ix\eta (j-1)}\psi(s_j) \eta $

Sei $x_k= -\frac{1}{2}N\lambda + \lambda(k-1) = -b + \lambda (k-1)$ :

$ f(x_k) = \frac{1}{\pi} \sum_{j=1}^N e^{-i\lambda\eta(k-1) (j-1)}\cdot e^{ibs_j}\psi(s_j) \eta $

Wähle $\lambda, \eta$ so, dass gilt: $\lambda\eta = \frac{2\pi}{N}$ :

$ f(x_k) = \sum_{j=1}^N e^{-i\frac{2\pi}{N}(k-1) (j-1)}\cdot e^{ibs_j}\psi(s_j) \eta $ ,

mit $b=\frac{N\lambda}{2}$ und $s=\eta (j-1)$

Dadurch ist die charakteristische Funktion in einer Form, die in den

Code:

fft()

Funktion ohne Link?

Befehl übergeben werden kann. Genauer gesagt wird (wie in meinem Code Beispiel)

$ e^{ibs_j}\psi(s_j) \eta $

übergeben.

tino1988

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Verfasst am: 29.11.2014, 16:40 Titel:

Falls es jemanden interessiert: Habe inzwischen rausgefunden, dass es mit einer Bias-Correction zu tun hat.

Wilmott Forum

Essentiell ist daher die Implementierung eines zusätzlichen Vektors bspw der Form

Code:

w = [0.5 ones(1,N-2) 0.5];

Funktion ohne Link?

der dann mit dem FFT Input multipliziert werden muss.

Man muss dann nur gehörig aufpassen welche Rasterung man wählt und welches eta.

VG

Edit:
Weil ich gerade nochmal den Code und die Herleitung gesehen habe, da ist wohl ein Fehler mit pi drin. Hier der Code mit dem's nun funktioniert:

Code:

N=2^20;

eta=0.4;
lambda=pi/(N/2 *eta); %--> lambda*eta = 2pi/N

j=0:N-1;
k=0:N-1;

mu=0;
sigma=1;

x=-0.5*N*lambda+lambda*k; %--> -b+lambda(k-1)

charF= @(t)1/(pi).*exp(1i.*mu.*t - sigma.^2*t.^2/2);

w = [0.5 ones(1,N-2) 0.5];

FFT_Input= exp(0.5*1i*N*lambda*eta.*j).*...
charF(eta.*j).*eta.*w;

A= real(fft(FFT_Input));

plot(x,real(A))

Funktion ohne Link?


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