Finite Differenzenmethode

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thalia27

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Verfasst am: 09.01.2021, 20:47 Titel: Finite Differenzenmethode

Hallo zusammen,

Ich habe versucht die finite Differenzenmethode in MATLAB zu lösen. Dabei ist mir aufgefallen, dass die Randbereiche nicht korrekt im Einheitsquadrat (0<x<1, 0<y<1) dargestellt werden und das die Funktion F(x,y) sich über die Auflösungsgröße verändert, was ja eigentlich nicht sein sollte.

Code:

clc
clear

n = 50; %Anzahl der Bereiche
h = 1/n; %Schrittweite ein x- und y-Richtung
A = Koeffizientenmatrix(n);

RB = Randbedingungen(n,h);
%Ermitteln des Vektors Q
Q=VektorQ(n);

%Berechnen des Vektors b aus Q+RB
b=Q+RB;

%Ermitteln des Vektors U zur spÃ¤teren Darstellung
U=VektorU(A, b, n);

%Ermitteln von U durch Gauss- Elimination
UGauss = Gauss(A,b);

%Zusammenstellen von RB und U
F = MatrixF (U, n, h);

%% Koeffizientenmatrix

function [Koeffizientenmatrix]=Koeffizientenmatrix(n)

I = eye(n-1)*(-1); %negierte Einheitsmatrix erstellen

B = zeros(n-1); %Nullmatrix B erstellen
for i = 1: n-1 %Die zu betrachtende Punkte mit einer 4 ausfÃ¼llen
B(i,i) = 4;
end

A = zeros((n-1)^2); %Nullmatrix A mit ((n-1)*(n-1))^2 EintrÃ¤gen erstellen
for i=0 : (n-2) %Die Diagonale von A mit B ausfÃ¼llen
A(i*(n-1)+1:(i+1)*(n-1),i*(n-1)+1:(i+1)*(n-1))=B;
end

for i=0 : (n-2)-1 %Rechts neben der Diagonalmatrix mit I (Einheitsmatrix) ausfÃ¼llen
A(i*(n-1)+1:(i+1)*(n-1),(i+1)*(n-1)+1:(i+2)*(n-1))=I;
end

for i=0 : (n-2)-1 %Links neben der Diagonalmatrix mit I (Einheitsmatrix) ausfÃ¼llen
A((i+1)*(n-1)+1:(i+2)*(n-1),i*(n-1)+1:(i+1)*(n-1))=I;
end

for i=1 : ((n-1)^2)-1 %-1 links und rechts der Hauptdiagonalen eintragen
A(i,i+1) = -1;
A(i+1,i) = -1;
end
Koeffizientenmatrix = A;

end
%% Randbedingungen

function [Randbedingungen]= Randbedingungen(n,h)

%Randbedingungen der 4 Randbereiche formulieren
RBu = zeros((n-1)^2,1);
RBo = zeros((n-1)^2,1);
RBli = zeros((n-1)^2,1);
RBre = zeros((n-1)^2,1);
% RB fÃ¼r die einzelnen definieren

%unten
for i = 1 : n-1
RBu(i) = i*h;
end

%oben
for i = 1 : n-1
RBo(i+(n-1)*(n-2)) = 2*RBu(i);
end

%linke RB = 0, keine Elemente einzufÃ¼gen

%rechts
for i = 1 : n-1
RBre(i*(n-1)) = 1 + i*h;
end

%Matrizen fÃ¼r RB zusammenfÃ¼hren
RB = RBu + RBo+ RBli + RBre;

Randbedingungen = RB;

end

%%%%%% Zuordnung eines Vektors in eine Matrix%%%%%%
function F = MatrixF (U, n, h)
tic %Zeit messen
%idxmat = reshape(uint64(U), n-1, n-1); %geringere SpeicherkapazitÃ¤t
idxmat = reshape(U, n-1, n-1); %hÃ¶here SpeicherkapazitÃ¤t
Randli = [1:-h:0]'; %RB links in Matrix einbauen
Randre = [0:h:1]'; %RB rechts in Matrix einbauen
Randun = [0+h:h:1-h];%RB unten in Matrix einbauen
Randob = [1-h:-h:0+h];%RB oben in Matrix einbauen
T = [Randob;idxmat;Randun];%Zusammenstellen von Matrix U und RBoben RBunten
F = [Randli T Randre];%Zusammenstellen aller RB und U
xyaxis= [0:h:1];%Skalierung
contour3 (xyaxis, xyaxis, F);%Grafische Darstellung
toc %Zeit messen
save('Probe.mat') %Konventieren von .m Datei in .mat %Dateiname muss angepasst werden
S = whos('-file','Probe.mat'); %Dateiname muss angepasst werden
for k = 1:length(S)
disp(['' S(k).name ...
'' mat2str(S(k).size) ...
'' S(k).class]);
end
end

function [VektorU] = VektorU(A, b, n)

%% Funktionsparameter definieren
maxit = 1000;
x = zeros((n-1)*(n-1),1);
%x = rand((n-1)*(n-1),1);
tol = 1e-5;

%% Erstellung der x-Werte (Jacobi-Verfahren)
%dx=zeros((n-1)*(n-1),1);
for i=1:maxit
summe=0;
for k=1:(n-1)*(n-1)
dx(k)=b(k);
for j=1:(n-1)*(n-1)
dx(k)=dx(k)-A(k,j)*x(j);
end
dx(k)=dx(k)/A(k,k);
x(k)=x(k)+dx(k);
if (dx(k) <= 0)
summe = summe - dx(k);
else
summe = summe + dx(k);
end
end
if(summe <= tol)
break
end
end
%% Ausgabe des Vektors x als Funktionswert VektorU
VektorU=x;
end

function [VektorQ]= VektorQ(n)

%% Erzeugen von x und y Werten
[x,y]= meshgrid(0 :(1/n): 1,1:-(1/n):0);

%% Ergebnismatrix fÃ¼r Piosson Gleichung mit x- und y-Werten
F = zeros(n-1,n-1);

for j= 1 : (n-1)
for k= 1:(n-1)
F(j,k)= sin(4*pi*x(j+1,k+1))*cos(4*pi* y(j+1,k+1));
end
end

%% Vektor Q aus Matrix F erzeugen
Q = zeros((n-1)*(n-1),1);
m = 1;

for j = 1 : (n-1)
for k= 1:(n-1)
Q(m,1)= F(j,k);
m=m+1;
end
end

%% Einpflegen der Randbediungen in in Vektor Q + Ausgabe
VektorQ=Q;

end

function [Gauss] = Gauss(A,b)
UGauss = A\b;
Gauss = UGauss;
end

Funktion ohne Link?

ich denke, dass das Bild so aussehen sollte. Stattdessen liefert das Programm dieses Bild

Kann jemand mir sagen, wo der Fehler ist?
Vielen Dank


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