Funktionsapproximation mit Tschebyscheff-Polynomen
Wasilij
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Verfasst am: 17.01.2011, 19:48
Titel: Funktionsapproximation mit Tschebyscheff-Polynomen
Hallo Leute!
Ich möchte eine Funktion mit Hilfe der Tschebyscheff-Polynome approximieren. Dazu berechner zunächst die Entwicklungskoeffizienten ck durch einsetzen der zu approximierenden Funktion in das Integral.
Für die Berechnung der ck von 0 bis 10 löse ich das Integral mit Hilfe der Simpson Quadratur und erhalte somit die cks.
Anschließend setzt ich die berechneten cks und die dazugehörigen Tschabyscheff-Polynome, wie durch die Formel zu Bildung des Approximationpolynoms vorgegeben, zusammen.
Die Funktion, und alle weiteren Formel habe ich im Anhang beigefügt.
Wenn ich das gnaze abschließend plotte, kommt nur misst raus. ich habe mir die einzelnen ck-Werte angeschaut und die stimmen auch nicht. weil normalerweise müssen sie bei größer werdendem k immer kleiner werden aber hier springen die werte.
Kann mir jemand sagen wo bei mir der fehler ist.
Das ist mein Programm zu der ganzen Geschichte:
Code:
>> % Funktionsapproximation
>> % zu aproxiemierende Funktion f(x)=1/(1+x^2)
>> ApproxFig = figure;
>> hold on
>> x = (-1:0.01:1)'; % neuer Bereich
>> Function = 1./(1+x.^2); % soll approximiert werden
>> plot(x, Function,'r-','LineWidth',2);
>> title('Zu approximierende Funktion')
>> legend('Runge-Funktion')
>> %Bestimmung von den Entwicklungskoeffizienten ck
>> k=1; %es nicht möglich mit 0 anzufangen
>> for i=0:10
F = @(phi)(1./(1+(cos(phi)).^2)).*cos(k-1*phi);
c(k) = (2/pi)*quad(F,0,pi); %Simpson Quadratur
k= k+1;
end
>> %Approxiamationspolynome
>> g_5 = 1/2 * c(1)*1 + c(2)*x + c(3)*(2*x.^2-1) + c(4)*(4*x.^3-3*x) + c(5)*(8*x.^4-8*x.^2+1) + c(6)*(16*x.^5 - 20*x.^3 + 5*x);
>> plot(x, g_5,'c-','LineWidth',2);
>> hold on
>> g_10 = g_5 + c(7)*(32*x.^6 - 48*x.^4 + 18*x.^2+1) + c(8)*(64*x.^7 - 112*x.^5 + 56*x.^3-7*x) + c(9)*(128*x.^8 - 256*x.^6 + 160*x.^4-32*x +1) + c(10)*(256*x.^9 - 576*x.^7 + 432*x.^5-120*x.^3 + 9*x) + c(11)*(512*x.^10 - 1280*x.^8 + 1120*x.^6-400*x.^4 + 50*x.^2-1);
>> plot(x, g_10,'k-','LineWidth',2);
>> plot(x, Function,'r-','LineWidth',2);
>> title('Approximation der Funktion')
>> legend('Runge-Funktion', 'g_5(x)', 'g_1_0(x)')
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