Koeffzienten von imaginär ausmultiplizierten Termen

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JohnnyB

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Verfasst am: 03.01.2016, 15:44 Titel: Koeffzienten von imaginär ausmultiplizierten Termen

Hallo zusammen,

ich habe das folgende, sehr dringende Problem, bei dem ich nicht weiterkomme; Ich versuche es möglichst genau auszuschildern, ich hoffe es ist dann verständlich...

Also folgende kurze Definitionen: Eine n-te Einheitswurzel $\zeta$ ist eine Zahl. für die gilt:

$\zeta^n=1$ . Wir verwenden als Einheitswurzel immer $\zeta_n=\e^{\frac{2 \pi i}{n}}$ , da $\e^{2 \pi i}=1$ . Eine Zahl g ist bzgl, einer Primzahl p als Modul eine Primitivwurzel, wenn gilt, dass g alle Zahlen 1,...(p-1) erzeugt, d.h. es ist z.B. 2 eine Primitivwurzel modulo 5, da:
$2^1=2$ , $2^2=4$ , $2^3=8 \equiv 3 \pmod{5}$ , $2^4=16 \equiv 1 \pmod{5}$

Nun kann ich als eine Gaußsumme G(p,q) bzgl. Primzahlen p und q und einer Primtivwurzel g modulo q definieren, wobei p (q-1) teilt:

Es gilt $G(p,q)=\sum\limits_{m=1}^{q-1} \zeta_p^j * \zeta_q^m$ , wobei j so ist, dass $g^j \equiv m \pmod{q}$ ;

Nun gilt einerseits offensichtlich, dass $\zeta_n^l=\zeta_n^{mod(l,n)}$ für alle natürlichen Zahlen n und allen ganzen Zahlen l, d.h. es gilt z.B.:

$\zeta_n^{n+5}=\zeta_n^5$

Außerdem gilt: $\sum\limits_{k=0}^{n-1}\zeta_n^k=0$ , also auch insbesondere $\zeta_n^{n-1}=-(\sum\limits_{k=0}^{n-2}\zeta_n^k)$

Dieses Grundwissen reicht uns schon, festzustellen, dass man jede Gausssumme schreiben kann als:

$\sum\limits_{j=0}^{p-2}\sum\limits_{k=0}^{q-2}a_{j,k}\zeta_p^j \zeta_q^k$

Das bringt mich allerdings schon zu meiner Aufgabe: Ich möchte diese ganzzahligen Koeffizienten $a_{j,k}$ für eine Gaußsumme bzw. deren Potenz berechnen;

Zuerst einmal ein Beispiel, dass es besser verständlich ist;
Wir berechnen G(2,5); Wie ich vorhin gezeigt habe ist g=2 eine Primitivwurzel, die wir für unser Beispiel nehmen; Damit erhalten wir:

$G(2,5)=\zeta_2^1 \zeta_5^2+\zeta_2^2 \zeta_5^4+\zeta_2^3 \zeta_5^3+\zeta_2^4 \zeta_5^1=(-\zeta_2^0) \zeta_5^2+\zeta_2^0 (-\zeta_5^0-\zeta_5^1-\zeta_5^2-\zeta_5^3)+(-\zeta_2^0) \zeta_5^3+\zeta_2^0 \zeta_5^1=\zeta_2^0(\zeta_5^2-\zeta_5^0-\zeta_5^1-\zeta_5^2-\zeta_5^3-\zeta_5^3+\zeta_5^1)$

Also erhalten wir die Koeffizienten:

(-1, 0 -2, -2); Dies habe ich bereits mit einfachen Mitteln in Matlab verwirklicht, siehe hier:

Code:

function [a] = gausscoefficients(p,q,g)

a(p-1,q-1)=0; %Initialisieren der Matrix auf die richtige Länge, gefüllt mit Nullen;

for i=1:(q-1)

m=mod(g^i,q);
n=mod(i,p);

if n==(p-1)

for k=0:(p-2)
a(k+1,m+1)=a(k+1,m+1)-1;
end

else if m==(q-1)

for k=0:(q-2)
a(n+1,k+1)=a(n+1,k+1)-1;
end

else

a(n+1,m+1)=a(n+1,m+1)+1;

end

end

end

Funktion ohne Link?

Nun geht es darum die Koeffizienten, zu erhalten z.B. für $G(p,q)^2$ oder $G(p,q)^6$ etc. Diese Koeffizienten brauche ich nämlich später;

Nur habe ich leider keine Ahnung, wie ich das verwirklichen kann... Deswegen: Hat da jemand eine Idee, wie ich das in Matlab implementiere?

Ich würdet mir wirklich gigantisch viel helfen!! Smile

Danke schon einmal... LG

Wenn jemand Rückfragen hat, gerne stellen.. Smile


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