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Lösung einer quadratischen Regression mittels FitLm

 

th33r453r
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     Beitrag Verfasst am: 03.10.2019, 13:30     Titel: Lösung einer quadratischen Regression mittels FitLm
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Liebe Gemeinde,

ich hoffe, ich habe meinen Beitrag im richtigen Forum erstellt.
Meine Frage bezieht sich auf die MATLAB-Funktion fitlm() .
Neben linearen Modellen kann man damit ja auch quadratische Zusammenhänge und deren Wechselwirkungen abbilden.

Konkret rede ich von der Modellspezifikation ('modelspec') 'quadratic'.
So hätte eine Gleichung mit zwei predictors und einer response-Variable die Form:

y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\beta_3 x_1^2 + \beta_4 x_2^2+\beta_5 x_1 x_2+\epsilon

Meine Frage lautet nun:

Mit welchem Algorithmus löst MATLAB dieses Problem? Mit einer klassischen Methode der kleinsten Quadrate kann man das doch nicht darstellen oder?
Wie das mit generalisierten linearen Modellen gelöst wird, kann ich mir dummerweise auch nicht vorstellen. Demnach vermute ich, dass es nichtlinear bzw. iterativ gelöst werden muss (Levenberg Marquardt nichtlineare KQ-Methode).

Ich glaube aber, ich verstehe das einfach nicht gut genug und wollte Euch daher um Unterstützung bitten. Könnt Ihr mir das evtl. erklären?

Vielen Dank im Voraus und viele Grüße

Chris
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Harald
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     Beitrag Verfasst am: 03.10.2019, 14:05     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Hallo,

in der Doku von fitlm steht unter "Algorithm" beschrieben, was intern gemacht wird.

Wenn quadratische Terme enthalten sind, ist das Modell dennoch weiterhin linear in den Koeffizienten, und das ist ja das entscheidende.

Grüße,
Harald
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th33r453r
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     Beitrag Verfasst am: 03.10.2019, 14:44     Titel:
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Hallo Harald,

vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Du meinst also, dass die \beta-Werte ja dennoch linear bleiben oder?
Irgendwie zerbreche ich mir genau da den Kopf.

Ich habe ja ein Modell der Form:y=X \beta
Wenn ich jetzt Wechselwirkungen der Art ...+\beta_i \cdot x_1 \cdot x2+... habe, kann ich damit ja meine Designmatrix X quasi erweitern (indem ich x_1 \cdot x_2 als Spalte an X anhänge und \beta_i an meinen \beta-Vektor ergänze), sodass ich dafür am Ende auch einen (linearen) Regressionskoeffizienten \beta_i bekomme.
Aber wenn ich in meiner Designmatrix dann Trainingsdaten von x_1 \cdot x_2 habe, erzeuge ich mir doch direkt eine lineare Abhängigkeit in der Designmatrix. Infolgedessen ist \mathbf{X}^T X nicht mehr invertierbar und damit funktioniert die Methode der kleinsten Quadrate nicht mehr. Wie Du schon geschrieben hast, nutzt MATLAB zur Lösung des Gleichungssystems ja die QR-Zerlegung. Kann denn die QR-Zerlegung so etwas trotzdem auflösen? Genau da habe ich einen Knoten im Kopf.

Entschuldige, aber ich glaube einfach, ich stehe hier irgendwo total auf dem Schlauch.

Vielen Dank im Voraus und viele Grüße

Chris
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Harald
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     Beitrag Verfasst am: 03.10.2019, 16:03     Titel:
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Hallo,

Zitat:
Aber wenn ich in meiner Designmatrix dann Trainingsdaten von x_1 \cdot x_2 habe, erzeuge ich mir doch direkt eine lineare Abhängigkeit in der Designmatrix.

Das wäre m.E. nur der Fall, wenn x_1 oder x_2 konstant sind.

Grüße,
Harald
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th33r453r
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     Beitrag Verfasst am: 03.10.2019, 19:22     Titel:
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Hallo Harald,

vielen Dank für deine Antwort. Das war das richtige Stichwort für mich.
Ich habe mir das nochmal mit einem kleinen Beispiel verdeutlicht und du hast natürlich vollkommen recht. Wenn einer der beiden Merkmale konstant wäre, würde die Spalte linear abhängig werden. Sonst lässt es sich einfach ganz normal mit der klassischen KQ-Methode lösen (auch wenn MATLAB das nicht so macht).

Ergibt Sinn! Vielen Dank nochmal und schönen Abend noch!

Chris
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