Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme durch Newton-Verfahr

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l4grange

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Verfasst am: 05.11.2013, 23:02 Titel: Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme durch Newton-Verfahr

Hallo,

Ich habe die Aufgabe, das Newton-Verfahren in Matlab zu implementieren. Das ganze soll mit zwei oder mehreren Gleichungen (also im $\mathbb R^{n}$ ) funktionieren.

Hier meine bisherige Funktion zum Newton-Verfahren:

Code:

function [x,fx,it] = newtonIteration(fun,dfun,x0,tol,nmax)
%NEWTONITERATION Findet approximierte Nullstelle in der Nähe des Startwerts.

%Zu übergebende Parameter:
%fun: Funktion
%dfun: Ableitung der Funktion
%x0: Startwert
%tol: Toleranz
%nmax: maximale Anzahl Iterationsschritte

%Rückgabe:
%x: approximierte Nullstelle
%fx: Funktionswert an Stelle x
%it: Anzahl benötigter Iterationen

x=x0;
it=0;
a=1+tol;
while a>tol && it<nmax
xtemp=-((dfun(x))^-1)*fun(x)+x;
a=norm(xtemp-x);
x=xtemp;
it=it+1;
end
fx=fun(x);
end

Funktion ohne Link?

Ich führe die Funktion mit folgendem Code-Stück aus:

Code:

clear all
fun=@ (x) [6*x(1)-cos(x(1))-2*x(2) ; 8*x(2)-x(1)*x(2)^2-sin(x(1))];%Funktionen gemäss Aufgabe
dfun=@ (x) [6+sin(x(1)) , -2 ; x(2)^2-cos(x(1)) , 8-2*x(1)*x(2)];%Abgeleitete Funktionen
x0=[5 ; 5];%Startvektor der Iteration [ ]
tol=10^-6;%gewünschte Toleranz
nmax=20;%maximale Anzahl der Iterationen
[x,fx,it] = newtonIteration(fun,dfun,x0,tol,nmax)%Vorgegebene Matlab-Funktion Newton Iteration

Funktion ohne Link?

Die übergebenen Funktionen sind in der Aufgabenstellung vorgegeben, genau wie die Argumente und Rückgabewerte der Funktion newtonIteration.

Jetzt zum eigentlichen Problem: Gemäss Wolfram Alpha besitzt das Gleichungssystem mindestens zwei Lösungen:

x1 = 0.171334, x2 =0.0213218
x1 =1.60865, x2 = 4.84489

Mit der von mir erstellten Funktion erhalte ich aber nur die Lösung (x1 = 0.171334, x2 =0.0213218), unabhängig davon, welche Startwerte ich für x0 wähle.

Hat jemand eine Idee, was ich falsch mache?
Ach ja, die Rückgabe von fx stimmt glaube ich auch noch nicht, aber damit befasse ich mich dann, wenn ich alle Nullstellen habe.

Vielen Dank!

Harald

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Verfasst am: 05.11.2013, 23:29 Titel:

Hallo,

ich habe die zweite Lösung mit fsolve mal etwas genauer berechnet, mit der von dir angegebenen zweiten Lösung als Startwert

Code:

[x0_2,fval] = fsolve(fun, x0)

Funktion ohne Link?

1.608653898076899
4.844885958753324

Wenn du das als Startwert in deine Funktion fütterst, kommt auch wieder dasselbe heraus. Meine Vermutung ist, dass die erste Lösung einfach einen relativ großen "Einzugsbereich" hat, was die Konvergenz zu dieser Lösung angeht.
Vielleicht hilft es ja, wenn du das ganze mal plottest.

Grüße,
Harald

l4grange

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Verfasst am: 06.11.2013, 15:55 Titel:

Hallo Harald,

Danke erstmal für die schnelle Antwort.
Tatsächlich, wenn ich die exakte Nullstelle einsetze, kommen auch die fehlenden Nullstellen raus.

Zu deiner Erläuterung mit dem Einzugsbereich habe ich allerdings noch eine Frage: Wenn ich als Startwert x0 = (2, 5) wähle, dann müsste ja trotz des Einzugsbereiches die Nullstelle (1.608653898076899, 4.844885958753324) herauskommen, oder? Sonst würde das Verfahren diese Lösung ja einfach überspringen.

Hast Du ausserdem eine Idee, wie ich das ganze so plotten kann, dass es mir das Problem ersichtlich macht? Das habe ich leider nicht ganz auf die Reihe gekriegt.

Danke und Gruss

Harald

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Verfasst am: 06.11.2013, 16:45 Titel:

Hallo,

Plotten:

Code:

[x1, x2] = meshgrid(-6:0.1:6, -5:0.1:5);
fun=@ (x) norm([6*x(1)-cos(x(1))-2*x(2) ; 8*x(2)-x(1)*x(2)^2-sin(x(1))]);
z = arrayfun(@(x1, x2) fun([x1, x2]), x1, x2);
contour(x1,x2,z, 10.^(-1:2), 'ShowText', 'on')

Funktion ohne Link?

Zitat:

Sonst würde das Verfahren diese Lösung ja einfach überspringen.

Wohl weniger überspringen, sondern außen herumlaufen. Du kannst dir ja mit quiver mal die Gradienten ansehen.

Grüße,
Harald

l4grange

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Verfasst am: 06.11.2013, 19:00 Titel:

Hallo Harald,

Danke für Deine Hilfe. Ich glaube ich sehe das Problem mittlerweile deutlicher.

Ich hoffe, ich habe Dich richtig verstanden und fasse nochmals zusammen:

- Meine Matlab-Funktion stimmt soweit und funktioniert wie vorgesehen
- Daran, dass man die fehlenden Nullstellen nur durch einen sehr exakt gewählten Startwert erreichen kann, kann man mit dem Newton-Verfahren nichts ändern. Das liegt in der Gegebenheit der Aufgabe.

Danke für ein kurzes Feedback und/oder eine Korrektur! Wink

Gruss

Harald

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Verfasst am: 06.11.2013, 21:34 Titel:

Hallo,

ja, das wäre meine Interpretation. Natürlich ist nicht garantiert, dass die richtig ist :)
Wenn jedoch ein Fehler in der Funktion wäre, würde sie wohl nie zu einer richtigen Lösung konvergieren.

Grüße,
Harald

l4grange

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Verfasst am: 07.11.2013, 21:42 Titel:

Hallo Harald,

Fehler gefunden - ich habe bei der Ableitung ein Minus vergessen Shocked

!
Nächstes mal kontrolliere ich die offensichtlichen Sachen als erstes Wink

Ansonsten funktioniert die Funktion jetzt wie gewünscht!

Gruss


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