Newton Verfahren für vektorwertige Funktionen

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sodamarshall

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Verfasst am: 16.03.2014, 14:27 Titel: Newton Verfahren für vektorwertige Funktionen

Hallo!
Habe gerade eine eher kniffligere Frage:

Auszuführen ist das Newton Verfahren der vektorwertigen Funktion:

Code:

function [ a ] = f( c )

x=c(1);
y=c(2);
z=c(3);

a=[ x^2+(sin(y)).^2+z-1
exp(x)+exp(-x)-z*y-2
x+y+z^2
];
end

Funktion ohne Link?

Dazu habe ich folgendes Newton Verfahren geschrieben:

Code:

function [ x ] = newton( f, x0 )
%NEWTON VERFAHREN FÜR VEKTORWERTIGE FUNKTIONEN
%BILDUNG JACOBI MATRIX

max = 1000; %maximale Iterationsschritte
lim = 1.e-12; %Abbruchkriterium

syms c1 x1 y1 z1; %Deklariere Var für Jacobi Matrix
c1 = [x1; y1 ;z1]; %Deklariere Vektorform für c1
Df = jacobian(f(c1),c1) %Bilde Jacobi Matrix nach c1 und return, um zu kontrollieren

subDf = eval(subs(Df,{x1, y1, z1},{x0(1),x0(2),x0(3)})); %Einsetzen von x0 in Jacobi Matrix

for i = 1:max
x=x0-subDf\f(x0); %Newton Iteration

if norm(x-x0,inf)<lim %Abbruchkriterium
return
end

x0 = x;
end
x = NaN;
end

Funktion ohne Link?

Für

Code:

newton(@f,[1;-1;0])

Funktion ohne Link?

bekomme ich nun aber immer NaN heraus, was aber nicht sein kann, da ich in diesem Fall für dieses x0 eine konkrete Lösung erhalten sollte.
Was habe ich falsch gemacht?
lg

Harald

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Verfasst am: 16.03.2014, 18:20 Titel:

Hallo,

verwende doch mal den Debugger um zu sehen, wo das Problem liegt - also, wo die NaN herkommen?

Meines Erachtens liegt das Problem darin, dass f(c1) eine numerische Matrix ist und es keinen Sinn macht, daraus die Jacobi-Matrix symbolisch zu bestimmen.
Man muss also entweder die Jacobi-Matrix numerisch über Differenzenquotienten bestimmen oder die Funktion auch wirklich symbolisch definieren.

Grüße,
Harald

Sirius3

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Verfasst am: 16.03.2014, 20:36 Titel:

da das Newton-Verfahren ein numerisches Finden von Nullstellen ist, macht es wohl kaum Sinn, symbolisch die Jakobimatrix ausrechnen zu wollen. »max« ist eine wichtige Matlabfunktion und sollte nicht mit einer Zahl überschrieben werden.

sodamarshall

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Verfasst am: 16.03.2014, 21:34 Titel:

Ok Danke für die Antworten!
Ich habe heute den ganzen Tag daran herumgedoktort und bin dann auf folgendes gekommen.
Ich habe schließlich ganz einfach das:

Code:

subDf = eval(subs(Df,{x1, y1, z1},{x0(1),x0(2),x0(3)})); %Einsetzen von x0 in Jacobi Matrix

for i = 1:itmax
x=x0-subDf\f(x0); %Newton Iteration

if norm(x-x0,inf)<lim %Abbruchkriterium
return
end

Funktion ohne Link?

durch das ersetzt:

Code:

for i = 1:itmax
x= x0 - eval(subs(Df,{x1,y1,z1},{x0(1),x0(2),x0(3)})) \ f(x0);

if norm(x-x0,inf)<lim

i

return
end

Funktion ohne Link?

Und es kommt mein gewünschtes Ergebnis heraus. Aber wie kann das bitte sein? ^^

@Harald:
Warum meinst du, dass f(c1) numerisch definiert ist? Immerhin habe ich dafür auch Variablen (x1,y1,z1) deklariert.

Harald

Forum-Meister


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Verfasst am: 16.03.2014, 21:38 Titel:

Hallo,

in der ersten Variante hast du die Jacobi-Matrix nur einmalig vor der for-Schleife berechnet, in der zweiten berechnest du sie innerhalb der for-Schleife und damit in jeder Iteration neu.

Grüße,
Harald

sodamarshall

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Verfasst am: 17.03.2014, 13:03 Titel:

ach ja, is doch klar! Sehr gut, danke! Smile


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