nicht-LGS mit Newton und Jakobi

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Verfasst am: 02.04.2017, 11:19 Titel: nicht-LGS mit Newton und Jakobi

Hallo zusammen,

ich bin daran mit zwei gegebenen Matlab Funktionen zu untersuchen wie gut man die Lösungen vorher kennen muss, um ein nLGS (nicht lineares Gleichungssystem) mit Newton zu lösen.
Das ganze soll "von Hand" mit Matlab in der Kommandozeile erfolgen, ohne Schleifen zu benutzen.

gegeben sind mir:
Die Jakobimatrix (Ableitung mit nicht zu großem delta):

function [lastIt, lasteps, iter] = newton(start, func, eps, maxiter)
% Newtonverfahren zur Bestimmung der Funktion func
% start - Startwert (Vektor)
% eps : Abbruch, wenn norm(func) < eps oder Anzahl Iterierte
% > maxiter)
% maxiter: Maximalzahl Iterationen

% Rückgabewert:
% [letzte Näherung | norm des Funktionswerts der letzten
% Näherung | Anzahl Iterationen]

n = size(start);
f = ones(n);
numberOfIterations = 0;
x=start;
while norm(feval(func,x)) > eps && numberOfIterations < maxiter
DF = jacobi(func,x);
if rcond(DF) < 1e-8
break;
end
v = DF\(-feval(func,x));
x = x+v;
numberOfIterations = numberOfIterations +1;
end

lastIt=x;
lasteps = norm(feval(func,x));
iter = numberOfIterations;

sowie das Newtonverfahren:

function [lastIt, lasteps, iter] = newton(start, func, eps, maxiter)
% Newtonverfahren zur Bestimmung der Funktion func
% start - Startwert (Vektor)
% eps : Abbruch, wenn norm(func) < eps oder Anzahl Iterierte
% > maxiter)
% maxiter: Maximalzahl Iterationen

% Rückgabewert:
% [letzte Näherung | norm des Funktionswerts der letzten
% Näherung | Anzahl Iterationen]

n = size(start);
f = ones(n);
numberOfIterations = 0;
x=start;
while norm(feval(func,x)) > eps && numberOfIterations < maxiter
DF = jacobi(func,x);
if rcond(DF) < 1e-8
break;
end
v = DF\(-feval(func,x));
x = x+v;
numberOfIterations = numberOfIterations +1;
end

lastIt=x;
lasteps = norm(feval(func,x));
iter = numberOfIterations;

Die Aufgabe fordert:

1) als Richtung (Vektor) b unter gewissen Vorgaben zu wählen und auf Länge 1 zu normieren.
2) s ist gleich 1 zu setzen
3) lsg + s*b als Startwert für das Newtonverfahren
4) Prüfen der Rückgabewerte lastIt, lasteps, iter von newton, um zu beurteilen, ob das
Newtonverfahren gegen lag konvergiert. Kommentar verfassen:
z.B lasteps > eps keine Konvergenz oder lastIt weicht stark von lsg ab keine Konvergenz gegen lsg, lastIt und lsg stimmen fast überein, lasteps < eps Konvergenz gegen lag
5) Bei Konvergenz gegen lsg:
s>= 1 und s<256 dann s verdoppeln, weiter bei 3)
oder "fertig"
Falls keine Konvergenz gegen lag auszumachen s<=^dann s halbieren und bei 3) weiter machen.
si s> 1 fertig.

Die Lösung für mein gegebenes nLGS mit zwei Gleichungen soll letztendlich in ein eigenes m-File kopiert und abgegeben werden: Antworten als Kommentare in der Kommandozeile; Protokoll der Eingaben und Ausgaben sowie die verwendete Richtung b.

Ich habe mir bereits auf Wolframalpha Lösungen des zu untersuchenden nLSG anzeigen lassen, damit ich weiß wie in etwa meine Lösung auszusehen hat (im Anhang)

Wie könnte meine Kommandozeileneingabe aussehen um zu beginnen? Bisher habe ich folgendes:

Code:

>> clear all
b=[6 7]; % Aufgabe 1) Vektor b nach gewisser Vorgabe
b = b/norm(b); % b auf Länge 1 normiert
s = 1; % Aufgabe 2)
func=@ (x,y) [x^-3*x*y^-1=0; 3*x^*y-y^=0]; % eingebe des nLGS korrekt?
start = lsg + s*b; % Was soll hier lsg sein? wie mache ich weiter?

Funktion ohne Link?

Wie soll "lsg + s*b" als Startwert benutzen? ich verstehe schon dass ich sie für "start" der newton-funktion benutzen soll, aber was steht zu beginn in "lsg"?
"funk" wird über die Jakobimatrix nach x abgeleitet. gebe ich für "func" die beiden Gleichungen korrekt ein sodass sie das zu lösende nLGS erkannt werden?
Welchen Wert nehme ich geschickter Weise für "eps"? welchen für "maxiter?"
Wie könnte ich hier einen Anfang machen?

Bitte helft mir. Schon mal vielen Dank! Smile


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