Nichtlineare 1D Reaktions-Diffusions-Gleichung

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mrk

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Verfasst am: 18.02.2013, 13:05 Titel: Nichtlineare 1D Reaktions-Diffusions-Gleichung

Hallo zusammen,

ich versuche derzeit ein PDE System aus den folgenden Reaktions-Diffusions-Gleichungen zu lösen:

dc/dt = d/dx( -D dc/dx) + g*s(c)

c ist der Konzentrationsvektor nach dem ich lösen will, D ein Diffusionskoeffizient (Größenordnung 1E-5) und g eine Konstante (Größenordnung 1E+5). s ist schließlich ein Quellterm, der chemische Reaktionsraten beschreibt und von den Konzentrationen an einer Stelle abhängig ist. Außerdem ist er stark nichtlinear.

Ich habe die Gleichung in 1D mit Finiten Differenzen diskretisiert und dann mittels ode15s in der Zeit gelöst. Allerdings gibt es hier starke Probleme bezüglich Laufzeit und Stabilität (es wird gar keine Lösung gefunden oder es dauert extrem lange).

Gibt es für das Problem noch andere Ansätze? Jede Idee würde mir weiterhelfen.

Danke für eure Antworten!

Thomas84

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Verfasst am: 18.02.2013, 13:23 Titel:

Versuch doch mal pdepe.

mrk

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Verfasst am: 18.02.2013, 13:24 Titel:

Danke für den Hinweis, aber das funktioniert leider noch schlechter. Ich habe vergessen zu erwähnen, dass ich pdepe schon versucht habe.

Thomas84

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Verfasst am: 25.02.2013, 08:16 Titel:

Ich hab noch mal überlegt. Das Problem ist das du einen langsamen Prozess (Diffusion) und einen schnellen Prozess (chemische Reaktion) beschreiben willst. Diese beiden Prozesse muss man voneinander trennen. Dazu kann man die Störungstheorie verwenden (http://de.wikipedia.org/wiki/St%C3%B6rungstheorie_%28Klassische_Physik%29)

$ c = c_0 + \epsilon c_1 , \tilde{D} = \frac{D}{\epsilon}\\ \frac{dc_0}{dt} + \epsilon \frac{dc_1}{dt} = -\epsilon \tilde{D} \frac{d^2c_0}{dx^2} - \epsilon^2 \tilde{D} \frac{d^2c_1}{dx^2} + gs(c_0 + \epsilon) $

nach Potenzen von epsilon ordnen:

$ \frac{dc_0}{dt} = g s (c_0 + \epsilon c_1) \\ \frac{dc_1}{dt} = -\tilde{D} \frac{d^2c}{dx^2} c_0 $

Statt einer Differentialgleichung für c hast du nun 2 DGL für c0 und c1. Dafür ist aber der schnelle Prozeß vom langsamen Prozeß getrennt. Dadurch sollte die Berechnung schneller gehen. Zudem könnte man die DGL für c0 schon vorher analytisch oder numerisch lösen und diese Lösung bei der Lösung des Differentialgleichungssystems verwenden.

viele Grüße
Thomas


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