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ODE unabhängig von t lösen(Problem mit RK4 + ABM Verfahren
 

Bregor
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     Beitrag Verfasst am: 18.09.2014, 21:44     Titel: ODE unabhängig von t lösen(Problem mit RK4 + ABM Verfahren
  Antworten mit Zitat      
Beim Runge-Kutta und anderen Lösungsverfahren wird ja meistens mit einer Zeitabhänigkeit gerechnet um den nächsten Wert zum nächsten Zeitschritt zu ermitteln. ODE45 in Matlab und andere Lösungsverfahren machen das ja auch so.

Das sieht ja dann ungefähr so aus:

Code:
k1 = f(tn,yn)
k2 = f(tn + h/2, yn + k1/h*2)
k3 = f(tn + h/2, yn + k2/h*2)
k4 = f(tn + h, yn + k3)

yn+1 = yn + h*(1/6 * k1 + 4/6 * k2 + 4/6 * k3 + 1/6 * k4)


Das ganze Funktionier auch sehr gut für Funktionen, wo die Kraft von der Zeit abhängig ist und bekannt ist. z.B. Fn = F0 * sin(omega*tn), da kann ich ja den Zeitschrifft tn+h einsetzen und erhalte die richtige Kraft für die Berechnung.

Konkret wäre das ein Feder-Masse-Dämpfersystem, welches durch die folgende ODE beschrieben wird.

Code:
dy(1) = y(2);
dy(2) = (1/m) * (F(t) -yps*y(2)  -c*y(1)) ;


Wie mach ich das jetzt bei Funktionen welche ich von außen mit einem Wert und einem Zeitschritt füttere? Ich bekomme quasi den Wert für Fn und h.

Mein System wird nun von außen mit einer Kraft belastet, die sich unregelmäßig ändert, also der Zeitschritt h ist auch nicht konstant.

Code:
dy(1) = y(2);
dy(2) = (1/m) * (F -yps*y(2)  -c*y(1)) ;


Kann ich in diesem Fall die Zeit vernachlässigen und das RK4 so schreiben:

Code:
k1 = f(tn,yn)
k2 = f(Fn, yn + k1/h*2)
k3 = f(Fn, yn + k2/h*2)
k4 = f(Fn, yn + k3)

yn+1 = yn + h*(1/6 * k1 + 4/6 * k2 + 4/6 * k3 + 1/6 * k4)


Ich hab das Gefühl da fehlt dann irgendwas.

Anschließen soll dann das genauere Ergebnis für die nächsten Schritte mittels Adams-Bashforth-Moulton ermittelt werden, dort brauch ich aber auch den "zukünftigen" Wert.


Code:
// Adam Bashforth Step(Predictor)
w_ab = yn + h/24 * ( 55 * f(Fn, yn) - 19 * f(Fn-1,yn-1) + 37 * f(Fn-2, yn-2) - 9 * f(Fn-3, yn-3))

// Adam Moulton Step(Corrector)
yn+1 = yn + h/24 * (9 * f(Fn+1,w_ab) + 19 * f(Fn, yn) - 5 * f(Fn-1, yn-1) + f(Fn-2, yn-2))



Hier ist die Krux bei "Fn+1" ich kenne den Wert, ich kenne auch h, aber in der Formulierung die ich überall finde für das Verfahren steht auch wieder (t(i)+h)

Vielleicht hat ja jemand eine Idee wie ich das formulieren muss. Smile
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