pi(x) Primzahlen, Sieb des Erastothenes

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neeleanna95

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Verfasst am: 09.02.2017, 12:26 Titel: pi(x) Primzahlen, Sieb des Erastothenes

Hallo Ihr Lieben,
ich habe ein Problem. Ich muss am Dienstag 14.02. ein Programm geschrieben haben.
Die Aufgabe lautet:

Das Sieb des Eratosthenes ist ein Algorithmus zur Bestimmung aller Primzahlen bis zu einer
vorgegebenen Zahl N. Er funktioniert so: Zunächst schreibt man alle Zahlen 2, 3, . . . , N auf.
In jedem Schritt streicht man nun die Vielfachen der jeweils kleinsten noch übrig gebliebenen ¨
Zahl. Begründen Sie, dass am Ende dieses Verfahrens genau die Primzahlen kleiner als N
übrig bleiben. ¨
Überlegen Sie, wie man den Algorithmus schneller machen k önnte: Muss man beim Streichen
der Vielfachen einer Zahl n wirklich schon mit 2n, 3n, . . . beginnen und erst bei der
oberen Grenze N aufhören?
Implementieren Sie den Algorithmus in Matlab und erzeugen Sie so eine Liste der Primzahlen.
Wählen Sie N so groß, wie Rechenzeit und Speicherplatz sinnvollerweise erlauben.
Man bezeichne mit pi(x) die Zahl aller Primzahlen kleiner oder gleich x ∈ R > 0. Eine
berühmte von dem 15-jährigen Gauß aufgestellte (und erst hundert Jahre später bewiesene)
Vermutung besagt
limx→∞ pi(x) ·ln(x)/x= 1.
Uberprüfen / illustrieren Sie mithilfe eines geeigneten Plots oder einer Tabelle die Gültigkeit ¨
dieser Aussage, unter Verwendung der mit Ihrer Primzahlliste bestimmten Funktion pi(x).
Primzahlzwillinge sind Primzahlen im Abstand von 2. Es sei τ (x) die Zahl aller Primzahlzwillinge
kleiner oder gleich x. Plotten Sie τ (x) fur Ihre Primzahlliste. ¨
[* Ob unendlich viele Primzahlzwillinge existieren, ist eine offene Frage! Nach einer Vermutung
von Hardy und Littlewood (1923, vielleicht haben Sie den Kinofilm Die Poesie des
Unendlichen gesehen?) trifft dies zu, genauer:
limx→∞1/τ (x)· 2C2 Integralvon 2 (dt/(ln t)^2) bis x = 1,
C2 := Produkt(p>2 prim)(1 −1/(p − 1)^2)

.
Untersuchen Sie auch diese Vermutung anhand Ihrer Primzahltabelle. Berechnen Sie das
Integral dabei numerisch.]

Das Sieb des Erastothenes hab ich schon programmiert:

Code:

function primzahlvektor = prim (N)

a = 1:N;
for i = 2:fix(sqrt(N)) % fix rundet Richtung 0, da nur natürliche Zahlen betrachtet werden
for s = (i*i):N % Quadrate können keine Primzahl sein
if(mod(a(s),i) ==0) % prüfe ob die Zahl restlos teilbar ist
a(s) = 0; % Nicht Primzahl wird auf 0 gesetzt
end
end
end

primzahlvektor = a(a(1:length(a))~=0) % gebe nur Zahlen ungleich 0 aus

Funktion ohne Link?

Soweit ich das probiert habe funktioniert das auch.
Wenn ich jetzt aber den Limes möchte für pi(x) gibt es immer einen Fehler.
Ich hatte das jetzt so versucht:

Code:

syms x ;

x=10;
f = @ (x) (prim(x)*(log(x)/x));
limit(sym (f), x, inf)

Funktion ohne Link?

Könnt ihr mir vielleicht helfen?
Liebe Grüße Neele

Jan S

Moderator


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Verfasst am: 09.02.2017, 13:35 Titel: Re: pi(x) Primzahlen, Sieb des Erastothenes

Hallo neeleanna95,

Zitat:

Berechnen Sie das Integral dabei numerisch.

Das klingt nicht nach einem Job für sym .

1 ist keine Primzahl.
Man könnte noch Gerade Zahlen aus der Suche ausschließen.

Code:

primzahlvektor = a(a(1:length(a))~=0)
% Einfacher:
primzahlvektor = a(a~=0)
% Denn a geht immer von 1 bis length(a)

Funktion ohne Link?

Zitat:

Wenn ich jetzt aber den Limes möchte für pi(x) gibt es immer einen Fehler.

Bitte poste noch eine vollständige Kopie der Fehlermeldung. Der gezeigte Code benötigt einen double als Input, so dass die symbolische Berechnung nicht funktionieren wird.

Gruß, Jan


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