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Preis einer Option mit Monte Carlo + Brownsche Brücke

 

yannis98
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     Beitrag Verfasst am: 13.01.2020, 10:35     Titel: Preis einer Option mit Monte Carlo + Brownsche Brücke
  Antworten mit Zitat      
Hallo. ich versuche in Matlab einen Code für eine Monte Carlo Simulation zu schreiben, die den exakten Wert einer europäischen Call-Option approximiert. Zur Simulation des Aktienkurses möchte ich die Brownsche Brücke (aus Effizienzgründen) benutzen, die ich auch in meinem Code implementiert habe. Der exakte Wert der Option mit Black-Scholes ist 6.89, mit meinem Code komme ich aber auf Werte die deutlich höher sind (ca. 120). Kann sich jemand den Code anschauen und eventuell erklären was ich falsch mache? Das sind die Inputs mit denen ich arbeite:

S0 (Aktienpreis bei t = 0) = 100
K (Strike Preis) = 100
r (Risikoloser Zins) = 0.05
T (Laufzeit) = 0.5
sigma (Volatilität) = 0.2
Pfade (Anzahl der simulierten Pfade des Aktienpreises mit Brownscher Brücke) = 9000


Vielen Dank für eure Hilfe!

Code:
function P=eurocallprice_QMC_BBD(S0,K,r,T,sigma,n,Pfade)
dt=T/n;
timestep=[0:dt:T]';
Wt=zeros(n+1,Pfade);
%Simulate the Brownian motion at T:
eY = randn(1,Pfade);
Wt(n+1,:)= sqrt(T).*eY;
%Simulate the Brownian motion W(t):
for j=2:n
deltat1=(n+1-j)/(n+1-j+1);
eYt = randn(1,Pfade);
Wt(j,:)=deltat1*Wt(j-1,:)+(1-deltat1)*Wt(n+1,:)+sqrt(deltat1*dt)*eYt;
end
BB=Wt;
plot(BB)
SPaths = zeros(n+1, Pfade);
SPaths(1, :) = S0;
for i = 1:n+1
    SPaths(i + 1, :) = SPaths(i,:) .* (1 + r * dt + sigma * BB(i,:));
end
Payoff = zeros(Pfade,1);
Payoff = max(0, SPaths(n+1,:) - K);
P = exp(-r*T) * mean(Payoff);
end
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Harald
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     Beitrag Verfasst am: 13.01.2020, 12:42     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Hallo,

ich weiß nicht genau, was du implementieren willst / sollst, insofern ist das schwierig.
Sollte SPaths nicht mit S0 initialisiert werden statt mit 50?
Was mich aber verwundert ist, dass du die letzte Zeile von Wt initialisierst. Normalerweise verwendet man dafür die erste.
Soll in der for-Schleife wirklich darauf zurückgegriffen werden oder nicht vielleicht eher auf ein Wt(j-2, :) ?

Generelle Empfehlung: schrittweise im Debugging-Modus durchgehen und schauen, was sinnvoll ist oder auch nicht.

Grüße,
Harald
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yannis98
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     Beitrag Verfasst am: 13.01.2020, 12:59     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Hallo Harald,

vielen Dank für deine Antwort. Ich möchte mithilfe der Brownschen Brücke einen Aktienkurs während der Laufzeit T einer Option simulieren. Mithilfe dieses simulierten Aktienkurses möchte ich eine Monte Carlo Simulation durchführen um den Preis der Option zu approximieren und den erhaltenen Wert mit dem exakten Wert des Black-Scholes Modell zu vergleichen. Der Output der obigen Funktion ist also ein approximierter Preis für die Option wobei es n = 32 Zeitschritte gibt, und 9000 Aktienkurspfade, die durch die Brownsche Brücke simuliert werden.

Nun zu deinen Fragen: Spaths ist mit S0 initialisiert und nicht mit 50.
DIe Brownsche Brücke W(t) ist mir so bekannt, dass W(0) = 0 und der Endwert der Brownschen Brücke W(T) = sqrt(dt) * Z gesetzt wird (Z standardnormalverteilt). Mit diesen beiden Werten werden dann alle restlichen Werte berechnet. Darum habe ich W(t) in der letzten Zeile so initialisiert.

Ich würde mich sehr freuen wenn du mir helfen könntest! Vielen Dank im Voraus!

Mfg

Yannis
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yannis98
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     Beitrag Verfasst am: 13.01.2020, 13:02     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Im Anhang findest du die Definition die ich für die berechnung der Werte der Brownschen Brücke benutze.

brownsche brücke definition.PNG
 Beschreibung:

Download
 Dateiname:  brownsche brücke definition.PNG
 Dateigröße:  7.09 KB
 Heruntergeladen:  29 mal
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Harald
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     Beitrag Verfasst am: 13.01.2020, 13:09     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Hallo,

sorry wegen S0 und 50, da habe ich nicht genau genug hingesehen.
Aus dem Bild wird für mich nicht klar, wie j, i und k miteinander in Verbindung stehen sollen. Vielleicht liegt hier das Problem.

Ansonsten wie gesagt:
Zitat:
schrittweise im Debugging-Modus durchgehen und schauen, was sinnvoll ist oder auch nicht.


Grüße,
Harald
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