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Problem mit Gauß-Seidel-Iteration

 

Messerjocke
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Beiträge: 3
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     Beitrag Verfasst am: 15.01.2017, 12:24     Titel: Problem mit Gauß-Seidel-Iteration
  Antworten mit Zitat      
Hi,
nachdem ich im Forum immer mal wieder als Gast etwas mitgelesen habe,
melde ich mich jetzt mit einer Frage:
Ich soll eine Randwertaufgabe diskretisieren und das resultierende lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Seidel-Verfahrens lösen.
Dazu habe ich den folgenden Code geschrieben.
Problem ist, dass die Abweichung zur exakten Lösung, die ich am Ende berechne, mit einer größeren Anzahl Iterationsschritte größer wird.
Und ich finde leider meinen Fehler nicht.
Kann mir jemand helfen?

Code:
% Mein Script
clear;
%Definitin n
n=399;
%Definition Schrittweite
h=1/400;
%Definition der Iterationsschritte
max_iter=20000;
%Definition der Koeffizienten
for j=1:n
    x(j,1)=j*h;
    p(j,1)=2*x(j)*(1-x(j));
    lambda(j,1)=-1/h^2-p(j)/(2*h);
    q(j,1)=6*x(j);
    sigma(j,1)=q(j)+2/h^2;
    mu(j,1)=p(j)/(2*h)-1/h^2;
end
%Definition der Einträge der Diagonalen der Matrix A
A=gallery('tridiag',lambda(2:n),sigma(1:n),mu(1:n-1));
A(n,n-1)=lambda(n)+mu(n);
%Definition der rechten Seite
s=@(x)6*x.^3-4*x.^2-8*x;
rs=s(x);
%Definition der Matritzen für Gauß-Seidel
D=diag(A,0);            %Hauptdiagonale
E=-diag(A,-1);          %Untere Diagonale
E=diag(E,-1);           %Untere Diagonale neu festlegen
F=-diag(A,1);           %Obere Diagonale
F=diag(F,1);            %Obere Diagonale neu festlegen
M=D-E;                  %approximative Inverse
M_inv=inv(M);
%Iteration mit Gauß-Seidel
x0=0;
u_old=zeros(n,1);
for k=1:max_iter
    u=M_inv*(F*u_old + rs);
    u_old=u;
end
y=@(x)x.^3-x;
y_end=y(x);
abw=max(abs(u-y_end))
 


Viele Grüße,
David
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Jan S
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     Beitrag Verfasst am: 15.01.2017, 13:25     Titel: Re: Problem mit Gauß-Seidel-Iteration
  Antworten mit Zitat      
Hallo Messerjocke,

Das lässt sich anhand des Codes nicht einfach beantworten. Man müsste sich z.B. ziemlich mühsam zusammenpuzzeln, welche Zeile denn nun die "exakte Lösung" von was ist. Vielleicht ist ja diese Berechnung falsch.
Die Aufgabenstellung zu sehen würde vielleicht helfen.

Gruß, Jan
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Messerjocke
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     Beitrag Verfasst am: 15.01.2017, 13:55     Titel:
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Danke schon mal für die Antwort.
Für mich zum Verständnis:
In x werden ja die einzelnen x_j abgelegt. Das heißt, x ist ein Vektor, in dem in jeder Komponente der Wert um die Schrittweite h erhöht wird.
Wenn ich unten die Approximation berechne, sollten die Werte von u in der selben Reihenfolge abgelegt werden.
Danach berechne ich ja nur noch die Norm (also das Maximum des Betrags zwischen Approximation und exakter Lösung).

Da der Fehler mit größerer Anzahl an Iterationen größer wird, vermute ich, dass ich irgendwo in der Schleife, in der der Gauß-Seidel-Algorithmus läuft, einen Fehler habe.

Viele Grüße,
David
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Jan S
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     Beitrag Verfasst am: 15.01.2017, 20:09     Titel:
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Hallo Messerjocke,

Richtig. M könnte falsch sein und damit M_inv, F, oder rs, oder die angeblich exakte Lösung.
M_inv könnte auch "richtig" sein, aber numerisch schlecht konditioniert. Der \ -Operator ist immer besser als die Inverse explizit auszurechnen. Siehe die Docs von inv .

Gruß, Jan
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Messerjocke
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     Beitrag Verfasst am: 16.01.2017, 20:40     Titel:
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Danke für die Hilfe!
Hab jetzt meinen Fehler gefunden. Habe beim Einarbeiten der Dirichlet-Randbedingung einen Fehler in der Matrix gemacht.
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MK_K

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     Beitrag Verfasst am: 23.12.2021, 14:39     Titel:
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Hallo David,

dein Eintrag ist zwar schon ein paar Jahre alt, aber ich habe aktuell eine ähnliche Aufgabe.
Hast du vielleicht noch die Final richtige Version deines Progs.?
 
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