Schwerpunkt einer Fläche bestimmen

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Michel

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Verfasst am: 09.10.2012, 10:39 Titel: Schwerpunkt einer Fläche bestimmen

Hallo,

ich komme leider wieder ins stocken...
Über einen Tipp für mein kleines Problem würde ich mich daher sehr freuen!

Ich habe eine Punktwolke, die eine halbwegs eliptische Fläche beschreibt. Aus dieser Punktwolke möchte ich den Schwerpunkt bestimnmen. Die Verteilung der Punkte ist aber inhomogen.

Mit convhull, bestimme ich die außenliegenden Punkte, wie ich aus diesen Indizes auf einen Schwerpunkt der Fläche komme.
Darüber kann ich ein Polygon bilden.
Nur komme ich leider nicht auf den Schwerpunkt.

Hat jemand zufällig einen Tipp für mich?

Herzlichen Dank!

MaFam

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Verfasst am: 09.10.2012, 13:02 Titel:

Hallo,

der Schwerpunkt eines Polygons lässt sich sehr einfach berechnen. Man addiere alle Ortsvektoren zu den Punkten und teile die Komponenten durch die Anzahl der Punkte.

Grüße, Marc

Michel

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Verfasst am: 09.10.2012, 13:51 Titel:

Sehr gute Idee.

Vielen Dank!

Michel

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Verfasst am: 09.10.2012, 13:59 Titel:

Gibt es dazu noch weitere Voraussetzungen? Wenn ich mehrere Punkte konzentriert in einer Ecke habe, ist das Ergebnis ja ein anderes, als bei einer homogenen Verteilung, obwohl die Fläche gleich bleibt.

Zuletzt bearbeitet von Michel am 09.10.2012, 14:08, insgesamt einmal bearbeitet

MaFam

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Verfasst am: 09.10.2012, 14:05 Titel:

Wenn du den "normalen" Schwerpunkt berechnen willst, gibt es keine weiteren Bedingungen. Der Schwerpunkt liegt dann eben da, wo der Schwerpunkt liegt. Diese Tautologie soll nur ausdrücken, dass die Lage natürlich systemabhängig ist. Eine Konzentration von Punkten in einem lokalen Bereich führt dann auch natürlich zu einer Verlagerung des Schwerpunktes in Richtung dieses Bereiches.

Abgesehen davon kann man Teilmengen der Punktwolke höher gewichten, wenn man eine inhomogene Verteilung zugrunde legen möchte. Ist das gewollt?

Michel

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Verfasst am: 09.10.2012, 14:12 Titel:

Ich habe mich leider etwas missverständlich ausgedrückt:

Die Punktwolke beschreibt eine Fläche. Von dieser (homogenen) Fläche möchte ich den Schwerpunkt wissen. Unabhängig davon wo eine hohe Konzentration an Punkten den Umriss der Fläche beschreibt. Daher auch die Umrandung über convexhull.

MaFam

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Verfasst am: 09.10.2012, 14:15 Titel:

Dann würde ich eine (approximierende?!) Funktionsgleichung aufstellen und den Schwerpunkt über Integrale berechnen.

Es ist ja dann eher die Frage, bei deinem Ansatz, wie gut gleichverteilt die Punkte auf der konvexen Hülle liegen...

Michel

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Verfasst am: 09.10.2012, 14:41 Titel:

Die liegen leider sehr ungleichmäßig verteilt. (ca. 50% auf 1/4 der Umrandung)

MaFam

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Verfasst am: 09.10.2012, 14:48 Titel:

Das klingt nicht gut, bzw. bedarf dann eines Approximationsansatzes:

http://www.google.de/url?sa=t&r.....n2eGlkc5gCx0g&cad=rja

Im Paper befinden sich Infos über 2D und 3D sowie Mittelpunktsberechnungen.

Michel

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Verfasst am: 09.10.2012, 15:17 Titel:

Vielen Dank dafür, ich denke dann werde ich die Formel aus Wikipedia umsetzen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt

Als Beispiel nehme ich ein Quadrat mit der Fläche 1. Und möchte den Schwerpunk xs berechnen.

Code:

X=[0,1,1,0]
Y=[0,0,1,1]
[m,n] = size (X)
A = polyarea(X,Y)

for i=1:n

xs= 1/6*A*((X+X(i))*(X*Y(i+1)- X(i+1)*Y))

end

Funktion ohne Link?

gibt es noch einen Trick, dass ich auch wirklich die richtige Summe bilde?
1/2 bekomme ich leider nicht raus.

MaFam

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Verfasst am: 09.10.2012, 15:38 Titel:

Der Ansatz ist schick, aber wie soll man damit die Unregelmäßigkeit kompensieren?

Michel

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Verfasst am: 10.10.2012, 09:42 Titel:

Laut Wikipedia müsste die Formel eigentlich funktionieren.
"für...unregelmäßigen Polygons mit N Eckpunkten "

Leider habe ich sie unter MATlab aber falsch umgesetzt und finde den Fehler nicht.

Jan S

Moderator


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Verfasst am: 10.10.2012, 16:09 Titel:

Hallo Michel,

In Deiner Implementierung wird der Wert von "xs" in jeder Iteration überschrieben. Deshalb hat "xs" zum Schluss den Wert der letzten Iteration, also für "i == n".

Gruß, Jan

MaFam

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Verfasst am: 10.10.2012, 20:48 Titel:

Code:

clc
format long

n=2;

% Ellipse ersellen
t=[0:0.06:(2*pi)^(1/n)];
x=[2*cos(t.^n)+1;sin(t.^n)+1];
% Abschluss
% x(1,end+1)=x(1,1);
% x(2,end+1)=x(2,1);

plot(x(1,:), x(2,:),'r.');
axis equal

A = polyarea(x(1,:),x(2,:));

%% xs
xs=0;

for i=1:n-1

xs = xs + (x(1,i)+ x(1,i+1))*(x(1,i)*x(2,i+1) - x(1,i+1)*x(2,i));

end

xs=xs/(6*A)

%% ys
ys=0;

for i=1:n-1

ys = ys + (x(2,i)+ x(2,i+1))*(x(1,i)*x(2,i+1) - x(1,i+1)*x(2,i));

end

ys=ys/(6*A)

Funktion ohne Link?

Mit n lässt sich eine höhere Konzentration am Ende der Kurve erzeugen. Die Ergebnisse verwirren mich allerdings. Der Schwerpunkt liegt eindeutig bei [1,1]. Es kommt aber immer ein Wert um die [0,0] heraus. Ich sehe im Moment keinen Fehler in meinem Code.

Michel

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Verfasst am: 12.10.2012, 10:04 Titel:

Vielen Dank, das sieht sehr gut aus!

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