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Signalverarbeitung - Autokorrelationssequenz Sinussignal

 

Schafel
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Beiträge: 1
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Version: ---
     Beitrag Verfasst am: 20.10.2018, 21:09     Titel: Signalverarbeitung - Autokorrelationssequenz Sinussignal
  Antworten mit Zitat      
Schönen guten Tag zusammen.

Ich habe für die Uni eine Aufgabe zu lösen und zu präsentieren, bei der
ich einfach nicht weiter komme. Zunächst gebe ich die Aufgabenstellung:

Ein Signal mit überlagertem weißem Rauschen der Form


<br />
x[n]=A\cos(\omega_0n+\theta)+e[n]
<br />

mit

A∈R,ω∈R.

Die Phasenverschiebung theta ist eine gleichverteilte Zufallsvariable im
Bereich zwischen 0 und 2*\pi. Weiterhin wird angenommen, dass e[n] ein
weißes Rauschen mit dem Mittelwert 0 und der Varianz (sigma_e)² ist.

a) Zeigen Sie, dass mit diesen Annahmen die Autokorrelationssequenz von
x[n]


<br />
r_x[m]=E\{x[n]x[m+n]\}=\frac{A^{2} \pi } {2} \cos(\omega_0m)+\sigma_e^{2}\delta[m]
<br />

ist.

b) Zeigen Sie, dass mit den Ergebnissen aus a) das
Leistungsdichtespektrum von x[n] im Frequenzbereich für eine Periode


<br />
P_x(\omega)= \frac {A^{2} \pi } {2} [\delta ( \omega - \omega_0 ) + \delta ( \omega + \omega_0 ) ] + \sigma_e^{2}, |\omega| \leq \pi
<br />

ist.



Ich beginne damit, dass ich für den Erwartungswert einsetze:


<br />
r_x[m]=E\{x[n]x[m+n]\}=E\{A^{2}cos(\omega_0(n+m)+\theta)cos(\omega_0n+\theta)\}
<br />

Nun hab ich das erste Problem. Ich kann entweder den Erwartungswert als
Mittelwert des Signals berechnen:


<br />
E{...}=\frac{1} {2 \pi} \int_{0} ^{2\pi} A^{2} \cos(\omega_0(n+m)+\theta) \cos(\omega_0n+\theta)d\theta
<br />

Hier bin ich mir vor allem mit dem Operator dtheta unsicher. Muss ich
hier überhaupt über theta integrieren?
Ich könnte den Erwartungswert auch über die
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bestimmen mit alpha = n:


<br />
E{...}=\int_{0} ^{2 \pi} \alpha f(\alpha ) d \alpha
<br />

Da die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Cosinusfunktion aber
gleich 0 ist, komme ich damit ja auch nicht weiter.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben
könnte.

Viele Grüße und vielen Dank,
Bastian
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