[Suche] Mathematiker der eine Gleichung partiell ableitet

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CYMN11

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Verfasst am: 07.08.2014, 21:37 Titel: [Suche] Mathematiker der eine Gleichung partiell ableitet

Hallo liebe Forengemeinde,
bei folgender Problemstellung bräuchte ich dringend Hilfe eines Mathematikers. Da jedoch matlab auch Gleichungen ableiten kann, bin ich relativ frei ob derjenige das Problem via Matlab oder per Hand löst.

Anbei das Problem kurz beschrieben:

Der Preis einer Finanzoption (mit Bezug auf zwei Aktien) ist eindeutig bestimmbar anhand von:
$$\pi_{0}^{M}=S_{0}^{(1)} N(d_{+}) - S_{0}^{(2)} N(d_{-})$ $

wobei

$d_{\pm}=\frac{ln\Big(\frac{S_{0}^{(1)}}{S_{0}^{(2)}}\Big) \pm \frac{\sigma_{12}^{2}}{2} T}{\sigma_{12}*\sqrt{T}}$

und

$ $\sigma_{12}^{2}=\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} - 2 \rho_{12} \sigma_{1} \sigma_{2}$ $

gelten.

Die partielle Ableitung der obigen Bewertungsgleichung nach der Volatilität des ersten Basiswerts liefert:

$ \nu_{1}=\frac{\partial \pi^{M}}{\partial \sigma_{1}}= \bigg(\frac{\sigma_{1}-\rho_{12}\sigma_{2}}{\sigma_{12}}\bigg) \sqrt{T-t} S^{(1)} N^{\prime}(d_{+}) $

Ich bin nun auf der Suche nach der zweiten partiellen Ableitung der Bewertungsgleichung, wobei zuerst partiell nach der Volatilität der ersten Aktie $\sigma_{1}$ und anschließend partielle nach der Volatilität der zweiten Aktie $\sigma_{2}$ abgeleitet wird. Vereinfacht ausgedrückt suche ich somit die Ableitung von $\nu_{1}$ nach $\sigma_{2}$ , also:

$ $\frac{\partial \pi^{M}}{\partial \sigma_{1} \partial \sigma_{2}}=\frac{\partial \nu_{1}}{\partial \sigma_{2}}=?$ $

Wenn jemand davon überzeugt ist das hinzubekommen, bitte per PN bei mir melden!

Vielen Dank

brockerdocker

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Verfasst am: 08.08.2014, 15:46 Titel:

Hallo Cymn11,

wenn ich dich richtig verstanden habe, soll ja der $\nu_{1}$ -Term nach $\sigma_{2}$ partiell abgeleitet werden. Ich habe nun den Asterisk in der $d_{+}$ -Formel als Multiplikation zwischen $\sigma_{12}$ und $\sqrt(T)$ aufgefasst. Dann habe ich alles erstmal in die $\nu_{1}$ -Gleichung eingesetzt und diese versucht möglichst zu vereinfachen. Anschließend kann man - gesetzt ich hab mich nicht verrechnet - zweimal die Quotientenregel anwenden.

$ \nu_{1}=\frac{\partial_{\pi}M}{\partial \sigma_{1}}=\left(\frac{\sigma_{1}-\rho_{12}\sigma_{2}}{\sigma_{12}} \right) \sqrt{T-t} S^{(1)} N'(d_{+}) $
$ \nu_{1}=\frac{\partial_{\pi}M}{\partial \sigma_{1}}=\left(\frac{\sigma_{1}-\rho_{12}\sigma_{2}}{\sqrt{\sigma^{2}_{1}+\sigma^{2}_{2}-2\rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2}}} \right) \sqrt{T-t} S^{(1)} N'\left( \frac{\ln \left(\frac{S_{0}^{1}}{S_{0}^{2}}\right) + \frac{\sigma^{2}_{1}+\sigma^{2}_{2}-2\rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2} }{2} T}{\sqrt{\sigma^{2}_{1}+\sigma^{2}_{2}-2\rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2}} \cdot \sqrt{T}} \right) $
$ \nu_{1}=\frac{\partial_{\pi}M}{\partial \sigma_{1}}=\left(\frac{\sigma_{1}-\rho_{12}\sigma_{2}}{\sigma^{2}_{1}+\sigma^{2}_{2}-2\rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2}} \right) \frac{\sqrt{T-t} S^{(1)} N'}{\sqrt{T}} \ln \left(\frac{S_{0}^{1}}{S_{0}^{2}}\right) + \left(\frac{\sigma_{1}-\rho_{12}\sigma_{2}}{\sigma^{2}_{1}+\sigma^{2}_{2}-2\rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2}} \right) \frac{\sqrt{T-t} S^{(1)} N'}{\sqrt{T}} \frac{\sigma^{2}_{1}+\sigma^{2}_{2}-2\rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2}}{2} T$
$ \nu_{1}=\frac{\partial_{\pi}M}{\partial \sigma_{1}}=\underbrace{\bigg( \frac{\overbrace{\sigma_{1}}^{A}-\overbrace{\rho_{12}\sigma_{2}}^{B}}{\sigma^{2}_{1}+\sigma^{2}_{2}-2\rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2}} \bigg) }_{1.\, \mathrm{Teil}} \frac{\sqrt{T-t} S^{(1)} N'}{\sqrt{T}} \ln \left(\frac{S_{0}^{1}}{S_{0}^{2}}\right) + \underbrace{\left(\sigma_{1}-\rho_{12}\sigma_{2} \right) \frac{\sqrt{T-t} S^{(1)} N'}{\sqrt{T}} \frac{T}{2}}_{2.\, \mathrm{Teil}}$

Davon kann man dann den zweiten Term sehr einfach ableiten. Es ergibt sich
$ \frac{\partial \nu_{1}(2. \mathrm{Teil})}{\partial \sigma_{2}}=-\rho_{12}\frac{\sqrt{T-t} S^{(1)} N'}{\sqrt{T}} \frac{T}{2} $

Für den ersten Teil muss man sich nur um die Terme in der ersten Klammer kümmern. Diese kann man noch aufteilen, so dass einmal $\sigma_{2}$ nur im Nenner vorkommt und einmal im Nenner und im Zähler. In beiden Fällen kann auf die Quotientenregel zurückgegriffen werden.

Es ergibt sich

$ \frac{\partial \nu_{1}(1. \mathrm{Teil\; A})}{\partial \sigma_{2}}=\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}-2\rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2}-2\sigma_{1}\sigma_{2}+2\rho_{12}\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{4}+\sigma_{2}^{4}+4\rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2}\left(\frac{\sigma_{1}\sigma_{2}}{2\rho_{12}}-\sigma_{1}^{2}-\sigma_{2}^{2}+\sigma_{1}\sigma_{2}\rho_{12}\right)} $

und

$ \frac{\partial \nu_{1}(1. \mathrm{Teil\; B})}{\partial \sigma_{2}}=\frac{\rho_{12}\left(\sigma_{2}^{2}-\sigma_{1}^{2}\right)}{\sigma_{1}^{4}+\sigma_{2}^{4}+4\rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2}\left(\frac{\sigma_{1}\sigma_{2}}{2\rho_{12}}-\sigma_{1}^{2}-\sigma_{2}^{2}+\sigma_{1}\sigma_{2}\rho_{12}\right)} $

Insgesamt ergibt sich dann
$ \frac{\partial \nu_{1}}{\partial \sigma_{2}}=\left( \frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}-2\rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2}-2\sigma_{1}\sigma_{2}+2\rho_{12}\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{4}+\sigma_{2}^{4}+4\rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2}\left(\frac{\sigma_{1}\sigma_{2}}{2\rho_{12}}-\sigma_{1}^{2}-\sigma_{2}^{2}+\sigma_{1}\sigma_{2}\rho_{12}\right)} + \frac{\rho_{12} \sigma_{2}^{2}-\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{4}+\sigma_{2}^{4}+4\rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2}\left(\frac{\sigma_{1}\sigma_{2}}{2\rho_{12}}-\sigma_{1}^{2}-\sigma_{2}^{2}+\sigma_{1}\sigma_{2}\rho_{12}\right)} \right) \frac{\sqrt{T-t} S^{(1)} N'}{\sqrt{T}} \ln \left(\frac{S_{0}^{1}}{S_{0}^{2}}\right) -\rho_{12} \frac{\sqrt{T-t} S^{(1)} N'}{\sqrt{T}} \frac{T}{2} $

So, ich hoffe, dass das stimmt und hilft.


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