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Ungleichung symbolisch lösen |
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| mawi |
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Verfasst am: 29.07.2012, 21:31
Titel: Ungleichung symbolisch lösen
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Hallo Forum
das Thema wurde zwar schon einmal gepostet, jedoch wurde dort keine Lösung für das Problem gefunden. Darum Starte ich einen weiteren Versuch.
Ich habe eine 5x5 Matrix mit den Gleichungen a0 bis a5. Diese beinhalten wiederum die Symbolischen Variablen Ki und Ka.
Die Determinante der Matrix muss größer als 0 sein.
Wie kann ich diese Ungleichung für Ka lösen.
Mit solve kann ich die Gleichng zwar für 0 lösen, jedoch kenne ich das vorzeichen der Lösung dann ja nicht (Eventuelle negative multiplikation beim umstellen.
Gibt es dafür eine Lösung, da die von Hand sehr aufwändig wäre.
Mein Ansatz:
J ist gegeben und const.
PS: Es handelt sich um eine Stabilitätsaussage nach Hurwitz
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| MaFam |
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Verfasst am: 30.07.2012, 09:32
Titel:
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Hallo,
was hat es mit dem J auf sich und warum tauchen dort Doppelbrüche auf?
Ansonsten kannst du mit einer LR-Zerlegung arbeiten und das Produkt der Diagonale von R betrachten. Das wäre schon mal ein Anfang.
Geschickter wäre es allerdings, das Hurwitz-Kriterium über die positive Definitheit der Matrix zu überprüfen. Um diese Eigenschaft nachzuweisen, gibt es sehr viele, elegante Möglichkeiten. Man muss nicht und sollte auch nicht über Determinanten gehen.
Grüße, Marc
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| mawi |
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Verfasst am: 30.07.2012, 10:14
Titel:
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Das J ist eine konstante die in meinem Workspace definiert ist. Ich habe diese bei der Berechnung von a0...a4 nur nicht eingesetzt.
Was meinst du genau mit Doppelbrüchen?
Ich versuche lediglich immer mit möglichst wenig Klammern zu arbeiten.
a/(b*c) = a/b/c
Sicher kann ich die positiv Definitheit auch auch anderst prüfen.
z.B:
1. Alle diagonalen Einträge positiv und
2. jeder diagonale Eintrag größer als die Summe der Absolutwerte aller anderen Einträge der jeweiligen Zeile/Spale
Jedoch möchte ich ja dann auch den Wertebereich von Ka abhängig von Ki berechnen. Das führt mich wie ich das sehe zum Gleichen Problem.
Zur Erklärung:
Ich habe eine Kaskadenregelung mit 2 Regelkreisen (beides P-Regler).
Den Stabilitätsbereich der Reglerverstärkung des Inneren Regelkreises (Ki) habe ich bereits. Nun möchte ich den Wertebereich der Reglerverstärkung des äusseren Regelkreises (Ka) abhängig von Ki berechnen.
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| MaFam |
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Verfasst am: 31.07.2012, 12:55
Titel:
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OK, verstehe. Probiere doch mal meinen Vorschlag mit der LR-Zerlegung aus...
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Verschoben: 31.07.2012, 13:17 Uhr von denny
Von Objektorientierte Programmierung nach Programmierung |
| mawi |
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Verfasst am: 01.08.2012, 10:00
Titel:
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Bis jetzt habe ich mich mit dem Thema LR-Zerlegung zur Prüfung der positiven definitheit von Matrizen noch nicht beschäftigt, da ich bis jetzt nur mit Systemen bis 4. Ordnung konfrontiert wurde.^^
Nach einiger Recherche glaube ich jedoch, das die Cholesky Zerlegung dafür besser geeignet ist. (Zumindest bei Durchführung mit MATLAB)
Nach Meinem Verständnis müssten für H = R*R' die Parametergrenzen ermittelt werden, das R eine regüläre untere Dreiecksmatrix ergibt.
Widerspricht mir jemand?? 
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| MaFam |
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Verfasst am: 01.08.2012, 10:18
Titel:
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Hallo,
die Cholesky Zerlegung ist auch eine LR-Zerlegung, aber eben eine besondere, die nur für symmetrische Matrizen gilt. Damit hat man jedoch noch nicht die positive Definitheit gegeben. Diese gilt, wenn alle Teilprodukte der Diagonale von R echt größer 0 sind.
Ich habe eine Zerlegung zur Erzeugung von Dreiecksmatrizen vorgeschlagen, weil die Determinantenbestimmung dann simpel über das Produkt der Diagonalen funktioniert.
Grüße, Marc
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| mawi |
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Verfasst am: 01.08.2012, 11:26
Titel:
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Ahh, Sorry. Jetzt hab ichs verstanden. 
Vielen Dank für den Denkanstoß.
Jedoch muss ich das dann für alle Matrizen der Hauptminoren durchführen. Bin mir noch nicht sicher ob das mein eigentliches Problem, der bestimmung des Verhältnisses von Ki und Ka zueinander, löst.
Werde das direkt heute Abend testen, habe auf meinem Arbeitsrechner leider keine Symbolic Toolbox.
Grüße, Markus
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| MaFam |
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Verfasst am: 01.08.2012, 11:48
Titel:
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Ich sehe dieselbe Problematik wie du. Das wird nicht einfach. Um das ganze geschickt zu lösen, muss man sehr viel Hirnschmalz investieren... Es sei denn, man hat die zündende Idee. Vielleicht fällt mir noch was besseres ein.
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| mawi |
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Verfasst am: 02.08.2012, 08:11
Titel:
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Zum Stand der Dinge:
Das mit der LR-Zerlegung wirs wohl schwer da der Matlab befehl dafür nicht mit Matrizen rechnen kann, die symbolische variablen enthalten. Somit wird das ganze eher stressiger als besser.
Habe es mit dem Routh-Schema versucht, aber dadurch werden die Gleichungen auch nicht kleiner.
Ich werde wohl in den sauren Apfel beissen müssen und die notwendigen Bedingungen für Hurwitz 5. Ordnung von Matlab lediglich vereichfachen zu lassen und diese dann von Hand für >0 zu lösen.
Macht keinen Spass, aber ich sehe keine andere möglichkeit...
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| MaFam |
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Verfasst am: 02.08.2012, 08:49
Titel:
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| mawi |
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Verfasst am: 02.08.2012, 08:58
Titel:
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Daran habe ich auch schon gedacht. Habe momentan aber keinen Zugang dazu, noch habe ich bis jetzt mit diesem Programmen gearbeitet.
Da ich diese Berechnung (hoffentlich^^) nur einmal durchführen muss hab ich keine sonderliche Lust mich für meine Abschlussarbeit in eine weitere Software einzuarbeiten. (Waren schon genug)
Dauert es lange bis man damit zurecht kommt oder ist es eher intuitiv?
Eine weitere Überlegung wäre die Stabilitätsprüfung doch über Nyquist zu machen, obwohl ich durch die Padé-Approximation keine Totzeit mehr in meiner Ü-Funktion habe. Hier wäre auch der Vorteil eines definierten Amplitudenrands gegeben.
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