Vektorrotation mit Quaternionen

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clarke

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Verfasst am: 05.10.2015, 18:09 Titel: Vektorrotation mit Quaternionen

Hallo zusammen,

ich befasse mich gerade mit dem Thema Quaternionen, die als Rotation für einen Vektor [x y z] dienen soll. Die Rotation mittels q eines Vektors p funktioniert über $q*p*q^-1$

Beispielwerte sind aus dieser Quelle (S. 7) entnommen.

Code:

q = [cosd(30) 0 0 -1];
p = 0;
p(2:4) = [0 2 6];

% Multiplikation q*p
t(1) = q(1)*p(1) - q(2)*p(2) - q(3)*p(3) - q(4)*p(4);
t(2) = q(1)*p(2) + q(2)*p(1) + q(3)*p(4) - q(4)*p(3);
t(3) = q(1)*p(3) - q(2)*p(4) + q(3)*p(1) + q(4)*p(2);
t(4) = q(1)*p(4) + q(2)*p(3) - q(3)*p(2) + q(4)*p(1);

% Inverse von q
norm_q = q(1)^2 + q(2)^2 + q(3)^2 + q(4)^2;
q_inv = q/norm_q;

% Multiplikation t*q_inv
s(1) = q_inv(1)*t(1) - q_inv(2)*t(2) - q_inv(3)*t(3) - q_inv(4)*t(4);
s(2) = q_inv(1)*t(2) + q_inv(2)*t(1) + q_inv(3)*t(4) - q_inv(4)*t(3);
s(3) = q_inv(1)*t(3) - q_inv(2)*t(4) + q_inv(3)*t(1) + q_inv(4)*t(2);
s(4) = q_inv(1)*t(4) + q_inv(2)*t(3) - q_inv(3)*t(2) + q_inv(4)*t(1);

Funktion ohne Link?

1.) Der Vektor p muss ja noch um eine Dimension erhöht werden, ist es richtig die 0 an die Stelle p(1) zu schreiben?

2.) Mein Endergebnis lautet

Code:

s =

5.9385 1.9795 -0.2857 -0.8571

Funktion ohne Link?

Muss ich mit dem Realteil (5.93) noch irgendetwas tun oder vernachlässigt man diesen einfach und ( 1.9 -0.2 -0.8 ) ist der resultierende Vektor?

3.) Laut Beispiel müsste der finale Vektor s = [1.73 1 6] lauten, wo liegt denn hier mein Fehler? Ich habe als Zwischenergebis t:

Code:

t =

6.0000 2.0000 1.7321 5.1962

Funktion ohne Link?

wobei dies ja nur die Multiplikation von q*p ist, sowie die Reihenfolge vertauscht.

Beste Grüße

Winkow

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Verfasst am: 05.10.2015, 19:32 Titel:

sooo ich hab mir das mal angeguckt.
also die rechnen nicht mit [cos30 0 0 -1] sondern mit [cos30 0 0 -0.5] der ist dann auch normiert. die 001 ist wahrscheinlich der vektor n und die haben das sin30 vergessen.... in dem paper fehlen öfter mal dinge. sin30 ist dann 0.5 darum ist das inverse weg. wenn man dann noch in deinem 2. teil die einträge richtig vertauscht und nicht falschrum kommt das ergebniss auch raus

Code:

q = [cosd(30) 0 0 -0.5];
p = 0;
p(2:4) = [0 2 6];

% Multiplikation q*p
t(1) = q(1)*p(1) - q(2)*p(2) - q(3)*p(3) - q(4)*p(4);
t(2) = q(1)*p(2) + q(2)*p(1) + q(3)*p(4) - q(4)*p(3);
t(3) = q(1)*p(3) - q(2)*p(4) + q(3)*p(1) + q(4)*p(2);
t(4) = q(1)*p(4) + q(2)*p(3) - q(3)*p(2) + q(4)*p(1);

% Inverse von q
norm_q = q(1)^2 + q(2)^2 + q(3)^2 + q(4)^2;
q_inv = [cosd(30) 0 0 0.5]/norm_q;

% Multiplikation t*q_inv

s(1) = t(1)*q_inv(1) - t(2)*q_inv(2) - t(3)*q_inv(3) - t(4)*q_inv(4);
s(2) = t(1)*q_inv(2) + t(2)*q_inv(1) + t(3)*q_inv(4) - t(4)*q_inv(3);
s(3) = t(1)*q_inv(3) - t(2)*q_inv(4) + t(3)*q_inv(1) + t(4)*q_inv(2);
s(4) = t(1)*q_inv(4) + t(2)*q_inv(3) - t(3)*q_inv(2) + t(4)*q_inv(1);

Funktion ohne Link?

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Verfasst am: 06.10.2015, 11:20 Titel:

Hallo Winkow,

vielen Dank erstmal für deine Mühe.

Ich verstehe jedoch nicht, wieso sich jetzt bei q_inv(4) das Vorzeichen ändert. Kannst du deine Erklärung nochmal anders formulieren?

Weiterhin:

Winkow hat Folgendes geschrieben:

wenn man dann noch in deinem 2. teil die einträge richtig vertauscht und nicht falschrum kommt das ergebniss auch raus

wow, Respekt für dein Auge, dass du das so erkannt hast Wink

Ich habe auch noch eine anschließende Frage:
ich habe ja oben bei der Multiplikation von t = q*p die jeweils einzelnen Koeffizienten der Vektoren multipliziert. Wenn sich mein p aber nicht nur aus [0 X Y Z] zusammensetzt, sondern aus [0 (X-XM)^2/a^2 (Y-YM)^2/b^2 (Z-ZM)^2/c^2] dann wird doch beispielhaft für den ersten Wert von t statt

Code:

t(1) = q(1)*p(1) - q(2)*p(2) - q(3)*p(3) - q(4)*p(4);

Funktion ohne Link?

das hier berechnet:

Code:

t(1) = q(1)*(p(1) - q(2)*(p(2)-XM)^2/a^2 - q(3)*(p(3)-YM)^2/b^2 - q(4)*(p(4)-ZM)^2/c^2;

Funktion ohne Link?

oder?

(Kurze Hintergrundinfo: ich möchte nicht nur Koordinaten um einen Quaternion rotieren, sondern ein Ellipsoid mit der allg. Gleichung (X-XM)^2/a^2 ...)

Beste Grüße

Zuletzt bearbeitet von clarke am 06.10.2015, 11:27, insgesamt einmal bearbeitet

Winkow

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Verfasst am: 06.10.2015, 11:22 Titel:

Zitat:

Ich verstehe jedoch nicht, wieso sich jetzt bei q_inv(4) das Vorzeichen ändert.

weil das so in dem paper steht? 1.1.4
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Verfasst am: 06.10.2015, 11:28 Titel:

Winkow hat Folgendes geschrieben:

Zitat:

Ich verstehe jedoch nicht, wieso sich jetzt bei q_inv(4) das Vorzeichen ändert.

weil das so in dem paper steht? 1.1.4

Korrekt, ich danke dir Smile

.

Ich hab meinen vorherigen Beitrag nochmal mit einer weiteren Rückfrage editiert, würdest du dir die Formel auch einmal fix ansehen?

Winkow

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Verfasst am: 06.10.2015, 12:05 Titel:

probier es doch aus.bau dir doch was zusammen wo du das ergebniss kennst nach der rotation.
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Verfasst am: 06.10.2015, 13:25 Titel:

Winkow hat Folgendes geschrieben:

probier es doch aus.bau dir doch was zusammen wo du das ergebniss kennst nach der rotation.

Ja, das habe ich probiert. Ich habe einen Punkt genommen, der auf meinem Ellipsoid (Ursprung in -1,-1,-1 und Halbachsen 50,25,10) liegt und diesen mittels Euler Winkeln (alpha = 12°, beta = 40° und gamma = 81°) gedreht.
Die Werte lauten demnach

Code:

input = [-1 -1 -1 50 25 10 5 12*pi/180 40*pi/180 81*pi/180];

% functionsaufruf
xc = Input(1);
yc = Input(2);
zc = Input(3);
xr = Input(4);
yr = Input(5);
zr = Input(6);
n = Input(7);
alpha = Input(8);
beta = Input(9);
gamma = Input(10);

% Berechnung Ellipsoid
[x,y,z] = ellipsoid(xc,yc,zc,xr,yr,zr,n);

% Umformatierung der Matrizen
laenge = size(x,1) * size(x,2);
X = reshape(x,laenge,1);
Y = reshape(y,laenge,1);
Z = reshape(z,laenge,1);

% Punktwolke (ohne Rot)
P = [X Y Z];

% Drehung
Rx = [1 0 0; 0 cos(alpha) sin(alpha); 0 -sin(alpha) cos(alpha)];
Ry = [cos(beta) 0 -sin(beta); 0 1 0; sin(beta) 0 cos(beta)];
Rz = [cos(gamma) sin(gamma) 0; -sin(gamma) cos(gamma) 0; 0 0 1];

% Punktwolke (mit Rot)
P_rot = (Rz * Ry * Rx * P')';

P(2,:)

-30.3893 -1.0000 -9.0902

P_rot(2,:)

-5.6013 17.0312 -26.1859

Funktion ohne Link?

Der Quaternion für die Winkel (12,40,81) lautet

Code:

q = 0.2956 0.1949 0.6341 0.6874

Funktion ohne Link?

Also wenn ich jetzt die Rotation laut deines Codes von oben q*p*q^-1 durchführe, müsste für p = (-30.8 -1 -9.1) der Vektor (-5.6 17.0 -26.2) herauskommen.

Um die Parameter der Halbachsen (a,b,c) und die Ursprungsverschiebung (XM,YM,ZM) in die Berechnung einzufügen, habe ich es jetzt auf mehreren Wegen probiert. Die Einbindung von XM,YM,ZM ist noch denkbar für mich, nur wie die Parameter der Halbachsen dort mit hineinkommen, ist für mich schwer vorstellbar.

Versuch1: (Halbachse a wird für als Quotient des gesamtes Terms für t(2) genommen)

Code:

t(1) = (q(1)*p(1) - (q(2)*(p(2) - XM)^2) - (q(3)*(p(3) - YM)^2) - (q(4)*(p(4) - ZM)^2));
t(2) = (((q(1)*(p(2) - XM)^2) + (q(3)*(p(4) - ZM)^2) - (q(4)*(p(3) - YM)^2) + q(2)*p(1))/a^2 );
t(3) = (((q(1)*(p(3) - YM)^2) - (q(2)*(p(4) - ZM)^2) + (q(4)*(p(2) - XM)^2) + q(3)*p(1))/b^2 );
t(4) = (((q(1)*(p(4) - ZM)^2) + (q(2)*(p(3) - YM)^2) - (q(3)*(p(2) - XM)^2) + q(4)*p(1))/c^2 );

OUTPUT = 42.0571 152.0088 161.6368

Funktion ohne Link?

Versuch2: (Halbachse a wird bei jedem entsprechenden Term von p(2)-XM drunter gesetzt.

Code:

t(1) = (q(1)*p(1) - (q(2)*((p(2) - XM)^2)/a^2) - (q(3)*((p(3) - YM)^2)/b^2) - (q(4)*((p(4) - ZM)^2)/c^2));
t(2) = ((q(1)*((p(2) - XM)^2)/a^2) + q(2)*p(1) + (q(3)*((p(4) - ZM)^2)/c^2) - (q(4)*((p(3) - YM)^2)/b^2));
t(3) = ((q(1)*((p(3) - YM)^2)/b^2) - (q(2)*((p(4) - ZM)^2)/c^2) + q(3)*p(1) + (q(4)*((p(2) - XM)^2)/a^2));
t(4) = ((q(1)*((p(4) - ZM)^2)/c^2) + (q(2)*((p(3) - YM)^2)/b^2) - (q(3)*((p(2) - XM)^2)/a^2) + q(4)*p(1));

OUTPUT = 0.2541 0.8666 0.0611

Funktion ohne Link?

Die Berechnung von q_inv, s etc. erfolgt analog zu oben - dort müssen die Parameter ja nicht mehr berücksichtigt werden.

Ich habe als "Inspiration" diese Dissertation (S.82), wo die Rotation mittels Euler Winkeln geschieht und dabei auch nur um eine der Achsen (um Z). Gerade mit der vierten Dimension der Quaternionen kann ich die Einbindung der Halbachsenparameter nicht übertragen auf mein aktuelles Problem.


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