Zustandsraumdarstellung

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baldrian

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Verfasst am: 29.08.2012, 17:38 Titel: Zustandsraumdarstellung

Hallo zusammen,

ich möchte gerne von folgender Gleichung die Zustandsraumdarstellung aufstellen:

$\ddot{i_1}=\frac{1}{a_2}\cdot (-\dot{i_1}\cdot a_1-\dot{u_1}\cdot b_1 -u_1\cdot b_2+\dot{u_2}\cdot c_1+u_2\cdot c_2)]$

Dabei stellen $u_1,u_2$ meine zwei Eingänge dar und $i_1$ mein Ausgang.
Meine Zustandsvariabeln habe ich folgendermaßen definiert:
$x_1=i_1, x_2=\dot{i_1}$

Probleme beim Auftstellen der Zustandsraumdarstellung bereiten mir dabei die Ableitungen der Eingänge $\dot{u_1},\dot{u_2}$
Würden diese Ableitungen nicht auftreten wäre es kein Problem.
Geht das so überhaupt?
Vielen Dank.

vega1013

Forum-Century


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Verfasst am: 31.08.2012, 09:30 Titel:

Hallo,

ja das geht. Am einfachsten ist dies m.M.n. mit der Regelungsnormalform umzusetzen (http://de.wikipedia.org/wiki/Zustandsraumdarstellung#Regelungsnormalform). Mit deiner Übertragungsfunktion bzw. der Koeffizienten kannst du direkt die Zustandsraumdarstellung aufstellen inklusiver deiner abgeleiteten Eingängen.
Das nachfolgende Beispiel im Link (Übertragungssystem 4. Ordnung) zeigt das Prinzip.

Gruß vega

baldrian

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Verfasst am: 31.08.2012, 11:50 Titel:

danke für die Antwort.
Für den Fall mit einem Eingang und einem Ausgang ist das ok.
Aber wie sieht es aus wenn ich, wie in meinem Fall, zwei Eingänge und ein Ausgang habe.
Würde das etwa so gehen?:

$\tilde{y}=x_1$
$y=-b_2x_1-b_1x_2+c_2x_1+c_1x_2$

Danke.

vega1013

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Verfasst am: 31.08.2012, 19:20 Titel:

Oh, richtig, ist ja ein Mehrgrößensystem. Hatte ich überlesen.
Das sollte aber auch funktionieren, wird dann aber wohl ein wenig aufwendiger. Auf die schnelle kann ich dir da jetzt nicht weiter helfen. Muss die Tage mal nachschauen wie das war...
Eine andere Frage: ist es ein akademisches Problem oder ein praktisches? Wenn letzteres der Fall ist, würde ich einfach mal die Übertragungsfunktion aufstellen und mit den Matlab Funktionen experimentieren...

Caravaggio

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Verfasst am: 01.09.2012, 09:12 Titel:

Die Ableitungen werden dann auch einfach Zustandsgrößen. Was anderes sagt die Ableitung ja auch nicht aus. Rest wie gewohnt.

baldrian

Gast


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Verfasst am: 01.09.2012, 15:19 Titel:

Wenn ich die Ablelitungen meiner beiden Eingangsgrößen als zusätzliche Zustandsgrößen betrachte (z.B. $\dot{u_1}=x_3,\dot{u_2}=x_4$ ), verstehe ich nicht so recht wie ich dann noch die Zustandsraumdarstellung aufstellen kann.
Die Zustandsgrößen muss ich ja auch irgendwie in einen Kontext bringen.
Habt ihr eventuell ein Beispiel für so ein ähnliches Problem?

vega1013

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Verfasst am: 02.09.2012, 22:35 Titel:

Im nachfolgenden Link wird ein Zustandsraummodell eines Mehrgrößensystems hergeleitet. Grundlage ist die Übertragungsfunktionsmatrix.
http://books.google.de/books?id=BHU.....onepage&q&f=false
Wenn der Rest des Beispiels unklar sein sollte, einfach nochmal nachfragen.
Die Ableitungen der Eingänge einfach als Zustandsgröße zu definieren kann ich mir auch nicht herleiten. Vielleicht kannst du uns hierzu ein Beispiel geben?

baldrian

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Verfasst am: 03.09.2012, 16:17 Titel:

Kann es sein, dass die Methode in dem Link nicht für Systeme geeignet ist, bei denen die Anzahl der Eingänge und Ausgänge sich unterscheiden?
Wenn ich das so aufstelle bekomme ich zumindest für die C-Matrix eine 1x4-Matrix. Was dann nicht mit der Anzahl der Zustände übereinstimmt.
Wie ist denn genau die Übertragungsfunktionsmatrix G(s) definiert?
Ich habe das mal so angenommen:
$G(s)\cdot \begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}=i_1$

vega1013

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Verfasst am: 04.09.2012, 12:40 Titel:

Habe es noch nicht durchexerziert...
Deine Gleichung Laplace Transformiert ergibt:
$<br /> I(s)*(a_2*s^2+a_1*s)=(-b_1*s-b_2)*U_1(s)+(c_1*s+c_2)*U_2(s) <br />$
Dann
$<br /> I(s)=\frac{-b_1*s-b_2}{a_2*s^2+a_1*s}*U_1(s)+\frac{c_1*s+c_2}{a_2*s^2+a_1*s}*U_2(s) <br />$
und du musst nur noch die Matrizenschreibweise anwenden. Das sollte die Übertragungsfunktionsmatrix sein...
mfg

baldrian

Gast


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Verfasst am: 04.09.2012, 14:19 Titel:

Danke.
Dann sollte die Matrix so passen:

$G(s)=\begin{bmatrix}\frac{\frac{-b_1\cdot s-b_2}{a_2}}{s^2+\frac{a_1}{a_2}\cdot s} && \frac{\frac{c_1\cdot s+c_2}{a_2}}{s^2+\frac{a_1}{a_2}\cdot s} \\ \end{bmatrix}$

Dann habe ich die Funktion d(s) folgendermaßen definiert:
$d(s)=s^2+s\cdot \frac{a_1}{a_2}$
Wenn ich dann nach der Methode im Anhang vorgehe, komme ich auf die folgenden Matrizen:
$A=\begin{bmatrix}0 && 1\\ 0 && \frac{-a_1}{a_2}\\ \end{bmatrix}$
$B=\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$
$d(s)\cdot G(s)= \begin{bmatrix}\frac{-b_1}{a_2} && \frac{c_1}{a_2} \end{bmatrix}\cdot s + \begin{bmatrix}\frac{-b_2}{a_2} && \frac{c_2}{a_2} \end{bmatrix}$
$C=\begin{bmatrix}\frac{-b_2}{a_2} && \frac{c_2}{a_2} && \frac{-b_1}{a_2} && \frac{c_1}{a_2} \end{bmatrix}$

Siehst du hier eventuell einen Fehler?
Die A-Matrix beschreibt eigentlich genau meine Zustandsvariablen.
Nur mit der C-Matrix kann nichts anfangen, da ich hierfür auf einmal 4 Zustände benötigen würde. Irgendwas kann also nicht passen.

vega1013

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Verfasst am: 04.09.2012, 19:58 Titel:

Ja ich denke das du ein Fehler beim Aufstellen der Systemmatrix gemacht hast. Wenn du diese richtig aufgestellt hast, solltest du mit ein wenig Überlegung dann auch auf auf die richtige C-Matrix kommen...

baldrian

Gast


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Verfasst am: 05.09.2012, 15:43 Titel:

Oh ja vielen Dank.
Ich habe die Anzahl der Zeilen und Spalten in der G-Matrix vertauscht. Hier ist natürlich r=1 und m=2 für eine r x m Matrix. Damit wird die A-Matrix zu einer 4x4-Matrix und die B-Matrix zu einer 4x2-Matrix. Somit erhalte ich vier interne Zustände x1-x4. Die C-Matrix passt dann so.
Habs mit Simulink überprüft und es passt genau mit dem Referenzmodell überein.
Noch eine Frage hätte ich:
Hier werden ja die internen Zustände durch das Verfahren gewählt.
Weißt du ob es eine Möglichkeit gibt einen bestimmten internen Zustand selbst festzulegen und nur die restlichen Zustände bestimmen zu lassen, sodass das Gesamtsystem wieder passt.

vega1013

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Verfasst am: 06.09.2012, 12:41 Titel:

Prinzipiell kannst du jeden x-Beliebigen Zustandsvektor festlegen, und mittels einer nicht singulären Transformationsmatrix von dem alten Zustandsvektor in den neuen transformieren. Natürlich musst du dann auch alle Matrizen des Systems transformieren.
Insgesamt ist die Bestimmung der Transformationsmatrix aber kein eindeutiges Problem und es läuft im Endeffekt auf ein Optimierungsproblem hinaus wenn ich recht entsinne. Habe vor ein paar Jahren hierzu mal ein Paper gelesen.

baldrian

Gast


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Verfasst am: 06.09.2012, 14:03 Titel:

ok, danke für die Info.
Kannst du mir hierzu eine bestimmte Literatur empfehlen, in der ich mich über die Thematik etwas genauer informieren kann?

vega1013

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Verfasst am: 10.09.2012, 19:53 Titel:

Wozu möchtest du denn die Literatur, zur Zustandsregelung im weitesten Sinne, oder speziell zur Transformation?

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